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Ziege an eliptischem Zaun Problem
Universität / Fachhochschule
Differentiation
Integration
Tags: Elliptisches Integral, Integration
 
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Guten Morgen, ein Arbeitskollege hat mich vor folgendes Rätsel gestellt. Auf einer Weide steht eine elliptische Umzäunung. An der Außenseite dieser ist in einem ihrer Scheitelpunkte eine Ziege an einem Seil befestigt, das eben so lang ist wie ihr Umfang. Wie sieht die Umrandung der Fläche aus, die die Ziege abgrasen kann? Meine Überlegungen das Seil den Umfang umschlingen lassen, diese Länge von der Seillänge zu subtrahieren und die verbliebene Länge als gespannt mit Steigung im ersten Berührpunkt anzunehmen brachte mich zum Ellipsenumfang, der eine elliptisches Integral ist. Kann jemand von euch die Frage der Lösbarkeit beantworten und mir einen alternativen Lösungsansatz geben? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Ich schätze man wird um das elliptische Integral zweiter Art nicht herum kommen. Die Kurve - eigentlich ja Kurven, da man auch die Spiegelung berücksichtigen muss da die Ziege ja auf zwei Arten um den Zaun laufen kann und außerdem ist ein Teil der Begrenzung ja auch noch ein simpler Halbkreis. Die Kurve also entsteht ja auch dadurch, dass man eine Gerade auf der Ellipse "abrollt" und die Bahn des Berührpunkts in einem Scheitel betrachtet. Diese Gerade, die Ellipsentangente, ist ja immer Kurvennormale für die gesuchte Bahn. Die Ellipse ist daher die Einhüllende der Normalen, somit die Evolute der gesuchten Kurve, also der Ort der Krümmungsmittelpunkte. Es handelt sich somit um eine allgemeine Rollkurve. Zu diesem kinematischen Vorgang gibts einige Theorie, die dir vielleicht weiterhelfen kann. zB books.google.at/books?id=z_J8BwAAQBAJ&pg=PA180&lpg=PA180 Da die Ellipse die Evolute der gesuchten Kurve ist, nennt man die Kurve die Involute der Ellipse. Unter diesem Begriff findet man dann auch im Netz einiges zu deinem Problem. archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/e/e071.htm http//mathworld.wolfram.com/EllipseInvolute.html Bei Wolfram ist meiner Meinung nach ein Vorzeichenfehler bei . Das sollte lauten: www.maplesoft.com/applications/download.aspx?SF=5195/199606\Involute_of_an_Ellip.pdf http//xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Involute_dir/involute.html . duckduckgo.com/?q=involute+of+ellipse |
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So sieht die Sache dann wohl aus und die Zusatzaufgabe wäre, die Fläche zu berechnen ;-) |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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