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Zimmermannsregel - Extremwertprobleme

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Differenzialrechnung, Extremwertproblem

Jann!k aktiv_icon

16:20 Uhr, 02.03.2010

Hallo!

Habe mir in der Klausur die Zähne ausgebissen, bin über einen Ansatz nicht hinaus gekommen. Vielleicht könnt ihr mir helfen.

Die Tragfähigkeit von Holzbalken ist proportional zur Balkenbreite

b

und zum Quadrat der Balkenhöhe

h

a)

Aus einem zylindrischen Baumstamm mit dem Radius

r

soll ein Balken maximaler Tragfähigkeit herausgeschnitten werden. Wie sind Breite und Höhe zu wählen?

b)

Wie genau ist die Zimmermannsregel?

a)

Meiner Meinung nach müsste die Trakfähigkeit T(k,g,h)=k*b*h² sein, mit

k =

irgendeine Konstante,

g =

Grundseite,

h =

Höhe.

Ein weitere Ansatz wäre, die Nabenfunktion d²=h²+b², aber dann habe ich die Variable

d

wieder mit drin, von daher kein weiterkommen.

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michael777 aktiv_icon

21:54 Uhr, 02.03.2010

da bisher noch niemand geantwortet hat versuche ich es mal

deine Ansätze waren nicht schlecht

T (b, h) = k \cdot b \cdot h^{2}

k

ist eine Proportionalitätskonstante, keine Variable

Nebenbedingung

d^{2} = h^{2} + b^{2}

h^{2} = d^{2} - b^{2}

eingesetzt:

T (b) = k \cdot b (d^{2} - b^{2})

d

bzw

d = 2 r

ist eine Konstante

T (b) = k \cdot d^{2} \cdot b - k \cdot b^{3}

T' (b) = k \cdot d^{2} - 3 k \cdot b^{2}

T' (b) = 0

\Rightarrow b = \frac{d}{\sqrt{3}}

h = \sqrt{d^{2} - {(\frac{d}{\sqrt{3}})}^{2}}

h = \sqrt{(\frac{2}{3})} \cdot d

was genau besagt die Zimmermannsregel?
das bräuchte man für

b)

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