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Zinseszinsformel

Schüler Realschule, 9. Klassenstufe

Tags: Zinseszins

Spieler5 aktiv_icon

21:43 Uhr, 30.03.2009

In meinem Buch steht folgendes:

Wird ein Anfangskapital

K_{0}

bei einem Zinssatz von

p %

über

n

Jahre verzinst, kann man das Endkapital

K_{n}

mit der Zinseszinsformel berechnen:

K_{n} = K_{0} \cdot q^{n}

mit

q = 1 + \frac{p}{100}

Darunter steht:

Die Anzahl

n

muss ganzzahlig sein. Die Formel gilt nicht für Teile von Jahren.

Warum muss

n

ganzzahlig sein? Wenn ich die Laufzeit mit Logarithmus berechne ist

n

auch sehr oft eine Dezimalzahl.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

UlrichA aktiv_icon

22:03 Uhr, 30.03.2009

Du kannst ja mal probieren, statt einer Verzinsung von 3 Jahren zweimal hintereinander eine Verzinsung für

1,5

Jahre zu berechnen,

d . h

. das

K_{1,5}

der 1. Periode ist das

K_{0}

der 2. Periode. Du wirst sehen, dass dabe nicht dasselbe herauskommt. Das liegt daran, dass man die Zinsen erst am Jahresende gutgeschrieben bekommt und man für Jahresbruchteile keinen Zinseszins bekommt.

Spieler5 aktiv_icon

22:31 Uhr, 30.03.2009

Danke für deine Antwort.

ich schreibs mal hin:

K_{3} = 100 \cdot {1,5}^{3} = 337,5

K_{1,5} = 100 \cdot {1,5}^{1,5} = 183,711731

183,711731 \cdot {1,5}^{1,5} = 337,500001

naja

. .

100 \cdot {1,5}^{1,5} \cdot {1,5}^{1,5} = 100 \cdot {1,5}^{3}

Was mach ich falsch?

anonymous

22:49 Uhr, 30.03.2009

Natürlich kannst Du n auch als Dezimalzahl einsetzen.

Beispiel: Ko = 1000, Zinssatz = 3%, Zinsfaktor q somit 1.03
Zinsabschnitt 5 Jahre

Kn = 1000 *

1.0 3^{5} = 1159.27

Und jetzt splitten wir das mal in 2 mal 2.5 Jahre:
Kn = 1000 *

1.0 3^{2.5} = 1076.70

Kn = 1076.70 *

1.0 3^{2.5} = 1159.27

Die Ergebnisse sind gleich.
In der Regel wird die Verzinsung allerdings jährlich gutgeschrieben, da ist der Zinsabschnitt dann immer ganzzahlig. Aber Banken könnten theoretisch die Verzinsung auch monatlich (Verhandlungssache) gutschreiben. Da kann man dann die Monate als Nachkommastelle setzen.

1 Monat = 1/12 = 0.083333 usw.

Spieler5 aktiv_icon

23:31 Uhr, 30.03.2009

Du verwirrst mich ein bisschen.

Wenn die Zinsen monatlich gutgeschrieben werden, dann werden diese Zinsen ja auch mitverzinst, auf Wikipedia steht irgendwo zwischen den Zeilen, dass die Formel für unterjährige Verzinsung folgende ist:

K_{1} = K_{0} \cdot {(1 + \frac{p}{100 \cdot n})}^{n}

wobei

n

die Anzahl der Zinsgutschriften im Jahr ist.

bei monatlicher Zinsgutschrift ist

n = 12

K_{1} = 100 \cdot {(1 + \frac{50}{100 \cdot 12})}^{12}

K_{1} = 100 \cdot 1.63209413

K_{1} = 163.21 . .

.

im gegenatz zu jährlicher Verzinsung

(100 \cdot {1,5}^{1} = 150)

wären das bei monatlicher Verzinsung

13, .

. € mehr. Aber was hat das nun mit dem anderen zu tun?

PS: Es besteht eine gewisse Chance, dass es grad totaler Schwachsinn ist was ich gerade geschrieben habe.

Bamamike aktiv_icon

01:15 Uhr, 31.03.2009

Der monatliche Zinssatz ist nicht einfach der Jahreszinssatz

\cdot \frac{1}{12},

hier müssen

12

Monate Zinseszins mitberücksichtigt werden. Daher klingt der monatliche Zinssatz sehr viel niedriger, als er eigentlich ist.

Spieler5 aktiv_icon

06:08 Uhr, 31.03.2009

@ Bamamike, falls das an mich gerichtet war:

p % = 50 %

K_{0} = 100

Monatliche Verzinsung, 1 Jahr

Im ersten Monat:

100 \cdot (1 + \frac{0,5}{12})

2. Monat:

100 \cdot (1 + \frac{0,5}{12}) \cdot (1 + \frac{0,5}{12})

3. Monat:

100 \cdot (1 + \frac{0,5}{12}) \cdot (1 + \frac{0,5}{12}) \cdot (1 + \frac{0,5}{12})

. .

12

. Monat:

100 \cdot {(1 + \frac{0,5}{12})}^{12} = 163,21 . .

.

kommt das Gleiche raus, ich denke das ist richtig, falls es falsch ist, ich lass mich gern korrigieren :-)

Edit:

100

Euro,

50 %

Zinsen,

1,5

Jahre mit "Falscher Formel"

100 \cdot {1,5}^{1,5} = 183,711731

nun "manuell":
Zinsen nach dem 1. Jahr:

100 \cdot 1,5 = 150

Häfte des 2. Jahres:

150 + 150 \cdot \frac{50}{100} \cdot \frac{6}{12} = 150 + 37,5 = 187,50

Okay, nun ist klar, dass es nicht stimmt.

Wenn ich nun aber folgende Rechnung bringe:

1 \cdot {1,015}^{n} = 2

(nach

n

Jahren hat sich ein Kapital bei einem Zinssatz von

1,5 %

verdoppelt.)

Umstellen:

n = \frac{log (2)}{log (1,015)}

n = 46.5555256

Jahre

Nun kann man ja einfach in Monate, Tage usw umrechnen, indem:

Für Monate:

0,5555256 \cdot 12 = 6,6663072

Für Tage

: 0,6663072 \cdot 30 = 19,989216

Für Stunden:

0,989216 \cdot 24 = 23,741184

Eigentlich habe ich es schon bewiesen (,dass es nicht geht), aber geht das?

Edit3: (Unwichtiges Gelöscht, vom Weg abgekommen...)

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