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Zinsrechnung

Schüler Fachschulen, 8. Klassenstufe

Tags: Algebra

 
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anonymous

anonymous

10:58 Uhr, 15.12.2005

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Hallo,



folgende 2 Beispiele, deren Rechengang ich leider (Ja, ich bin ein richtiges Mathegenie .. ;-)) nicht verstehe:



1) 900 Euro werden zu einem Jahreszinsatz von 4 % angelegt Wie hoch ist das Guthaben nach 28 Monaten, wenn die Kapitalisierung a) ganzjährig, b) halbjährig c) vierteljährig erfolgt?



2) Welchen Beitrag muss man zu einem Jahreszinssatz von 4 % anlegen, um bei a) halbjähriger b) vierteljähriger Kapitalisierung nach 5 Jahren über ein Guthaben von 2000 Euro verfügen könnte.



Wäre wirklich nett, wenn ihr mir den Rechengang erklären könntet. ;-)

Antwort
Alex

Alex

12:14 Uhr, 15.12.2005

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Hallo,



Mit Ausschuettung meine ich im folgenden die Gutschrift der Zinsen auf das Konto.



1a)

Du hast 900 Euro. Das sind deine 100%. Nach einem Jahr kriegst du 4% dazu, also hast du 104%. Das kann man auch als 104/100 = 1.04 schreiben (% bedeutet eigentlich nur 1/100). Nach einem Jahr hast du 900*1.04. Nun kommt das zweite Jahr und auf den neuen Betrag kommen wieder 4% hinzu. Dieselbe Rechnung mit neuem Grundbetrag: (900*1.04)*1.04. Da es egal ist, in welcher Reihenfolge du multiplizierst, kannst du auch erst 1.04*1.04=1.04^2 rechnen und das Ergebnis ist dann 900*1.04^2 nach 2 Jahren, also 24 Monaten. Die naechste Gutschrift gaebe es erst nach 36 Monaten, so dass sich bis zum Monat 28 nichts mehr aendert.



b) Nun wird nicht mehr einmal 4%, sondern zweimal 2% ausgeschuettet. Am Prinzip aendert das nichts. Nach 6 Monaten 900*1.02. Nach 12=2*6 Monaten 900*1.02^2. Nach 2 Jahren = 4*6 Monate 900*1.02^4. Danach tut sich nichts mehr.



c) Nun hast du viermal pro Jahr 1%. Also alle drei Monate. 28 Monate sind 2 Jahre, 3 Monate und noch ein Monat drauf. Also hast du 9 Ausschuettungen. 900*1.01^9.



Ausrechnen kannst du es selbst ;).



2a) Sei x der Betrag, den du anlegen willst. Halbjaehrige Ausschuettung bedeutet also zweimal pro Jahr 2%. Das sind in 5 Jahren 10 Ausschuettungen. Also x*1.02^10=2000. Das kannst du nach x aufloesen, indem du beide Seiten durch 1.02^10 teilst.



b) Solltest du dir jetzt selber ueberlegen, allerdings solltest du irgendwann auf die Formel x*1.01^20=2000 kommen.



Cheers,

Alex



PS: Sorry, habe aus Gewohnheit statt eines Kommas einen Punkt zur Trennung der Nachkommastellen benutzt. Also bei den ganzen Zahlen Kommas denken. Und falls es noch nicht aus dem Text hervorgegangen sein sollte: mit x^y meine ich ueblicherweise. x hoch y.
Antwort
samson

samson

13:14 Uhr, 15.12.2005

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Hallo,



danke für die tolle und riesige Arbeit, die du für mich gemacht hast. Du hast alles verständlich ale meine Mathe-Lehrerin erklärt. ;-)



Aber folgendes: Die Lösung im 2. Beispiel stimmt mit der Lösung des Lösungsbuches überein, beim 1 Beispiel gibt es Probleme:



1)a Laut deiner Berechnung kommt als Endergebnis heraus: 973,44, im Lösungsheft steht aber: 986,42



1b 974,19, im Lösungsheft steht aber 987,18



1c)984,32, im Lösungsheft steht aber: 987,60



Vielleicht gebe ich auch deinen Lösungsansatz falsch ein?



Wäre nett, wenn du mir noch einmal helfen könntest. :-)



Danke

Samson





Antwort
Alex

Alex

13:35 Uhr, 15.12.2005

Antworten
Hallo,



du hast schon alles richtig eingegeben und du Rechnung stimmt auch (zumindest fuer den Fall 1a) habe ich es ueberprueft). Was ihr aber wohl noch macht und was man sicher auch machen kann, aber nicht unbedingt aus der Aufgabenstellung hervorgeht, ist das folgende, das ich dir nun fuer 1a) zeige. Der Rest wird wohl analog gehen:

Nach 24 Monaten kriegst du die zweite Ausschuettung und hast dann 973,44 Euro. Aber es ist ja nach dem Betrag nach 28 Monaten gefragt. Meine Argumentation war ja, dass sich da nichts aendert, wenn du nur jaehrlich Zinsen bekommst, aber anscheinend nehmt ihr an, dass es so einen Art Sonderpassus gibt, dass wenn du das Geld nach 28 Monaten abhebst, du noch einen Teil der jaehrlichen Zinsen kriegst. Ok, 973,44 war der Kontostand nach 24 Monaten. Jetzt sind wir im Monat 28. Das sind 4 Monate mehr und vier Monate sind 12/4=1/3 eine Jahres. Also erhaelts du auch noch ein Drittel der Zinsen, also 4/3%=1,3333%. 900*1.04^2*1.013333=973.44*1.013333=986,42. Bei den anderen Aufgaben sollte der Gedanke derselbe sein.



Cheers,

Alex
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samson

samson

13:38 Uhr, 15.12.2005

Antworten
Danke, super Alex, jetzt passt es.



Weitere Beispiele werden wohl leider bald folgen müssen. ;-)
Antwort
samson

samson

13:53 Uhr, 15.12.2005

Antworten
Hallo,



so die weiteren Zinsrechnungen, die ich leider nicht ganz verstehe bzw. bessere Rechengänge herausfinden will. Sonst habe ich alle Beispiele im Buch selber gelöst.



Beispiel 1)

Jemand zahlt jeweils zu Quartalsbeginn 160 Euro auf ein mit 3,5 % verzinstes Sparbuch ein. Welcher Betrag ist bis zum Ende des 5 Jahres angespart?



Nun weiß ich durchwegs einen Lösungsweg. Aber ist sicherlich zu lange. Habt ihr vielleicht den schnellstmöglichsten Lösungsweg?



Beispiel 2)

Ein mit 7,75 % verzinster Kredit von 15.000 Euro ist in 10 gleich hohen, jeweils am Jahresende fälligen Raten zu tilen a) Wie hoch ist eine Kreditrate?



Auch da weiß ich einen Lösungsweg, würde aber vielleicht einen anderen schnelleren interessant finden ...



Beispiel 3)

Ein mit 8,5 % verzinster Kredit von 40.000 soll durch nachschüssige Jahresraten von 4000 Euro getilgt werden. a) Wie viele derartige Zahlungen und in welcher ein Jahr nach der letzten Rate fälliger Restbetrag sind dazu erforderlich?



Danke für eure Ratschläge und Hilfe.



Gruß

Samson



Antwort
Alex

Alex

14:37 Uhr, 15.12.2005

Antworten
Hallo,



wer so fleissig ist, dem soll auch geholfen werden ;)



Bsp 1.)

Ich nehme mal an, die Verzinsung ist jaehrlich, oder? Ich verstehe dass dann so, dass man nach dem ersten Jahr auf die ersten 160 die vollen 3,5%, auf die zweiten 3/4 der 3,5%, auf die dritten 3,5% / 2 usw. bekommt, oder? Dann hat man also:

160*(1+0.35*1)+160*(1+0.35*(3/4))+160(1+0.35*(1/2))+160*(1+0.35*(1/4))=

160*(4+0.35*(1+(3/4)+(1/2)+(1/4))) = 160*(4+2.5) = 160*6.5

Die erste Umformung habe ich durch das Distributivgesetz bekommen, denn 160*a+160*b=160*(a+b). Die 4 kommt z.B. daher, dass ich die vier Einsen addiert habe.

Fuer das zweite Jahr haben wir nun dasselbe plus dem Betrag, den man aus dem ersten Jahr angespart hat und der nun voll verzinst wird:

(160*6.5)*1.035+(160*6,5)*1 = 160*6,5*(2.035) (Distributivg.)

Ich nnen 160*6,5 jetzt mal a, um Schreibarbeit zu sparen. Nach dem Jahr 3 hast du:

a*2,035*1,035 + a = a*(1+(2,035*1,035)) usw.

Ich weiss nicht, ob das jetzt einfacher als dein Weg ist (und ob ueberhaupt meine Annahme hinsichtlich der Zahlungsweise korrekt ist), aber was besseres fiele mir gerade auch nicht ein.



Bsp 2)

Sei x die Kreditrate, dann gilt:

(((15000 * 1,0775) - x) * 1,075) - x)... = 0



Dann ist a1, der Betrag nach einem Jahr

a1 = (15000 * 1,0775) - x

und fuer an, den Betrag nach n Jahren, gilt

an = a(n-1) * 1.0775 - x

Und es soll gelten, dass a10 = 0



Hm, da sehe ich auch gerade keine einfach Umformung, was aber nicht heissen soll, dass es sie nicht gibt. Die anderen hier koennen ja auch mal was tun ;). Waere auch eine nette Uebung, die betreffende Rekursion als Computerprogramm zu implementieren.



Bsp 3)

Da geht's mir aehnlich wie in 2. Man kann es mit der Notation aus 2 schreiben als

a1 = 40000*1.085-4000

und fuer n>1

an = a(n-1)*1.085-4000

Gesucht ist nun das kleinste n, fuer das an <= 0 ist.

Auch hier sehe ich leider keine Vereinfachung, habe aber das dumpfe Gefuehl, dass es eine gibt.



Sorry, aber ich sehe es gerade echt nicht.



Trotzdem noch frohes Schaffen.



Gruss,

Alex

Antwort
samson

samson

14:51 Uhr, 15.12.2005

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Hallo,



Wahnsinn, danke.



Zum Beispiel 1: Nach deiner Rechnung kommt 3230,47 heraus. Bei mir aber 3507,05, was auch im Lösungsheft steht. Allerdings mit einer ellenlangen Berechnung, 2 ganze Blockseiten voll.



Hmmmm ....



Ja, fleißig bin ich. ;-)



Jetzt kommt erst mal der Übungszettel mit den dummen Zinsen dran. Da wird wohl auch noch was auf euch hier zukommen. ;-)
Antwort
Alex

Alex

14:59 Uhr, 15.12.2005

Antworten
Also ist meine Annahme falsch... das erklaert auch, warum mein Konto immer so leer ist ;). Tut mir leid, dass ich dich das hab nachvollziehen lassen, wo es doch falsch ist. Kann dir nicht versprechen, nachher nochmal im Forum zu sein, aber zur Not kannst du mir ja ne Mail schicken.



Gruss,

Alex
Antwort
anonymous

anonymous

15:33 Uhr, 15.12.2005

Antworten
Hi Alex,



kein Problem, ich weiß ja, was rauskommt, tragisch ist es dehalb nicht, weil es sicher kein Matura-Beispiel ist. ;-)



Also lassen wir dieses Beispiel, bald kommen 4 andere Beispiele vom Zettel, aus denen ich aus bestimmten Gründen nicht schlau werde. Die anderen 10 habe ich schon richtig ausgerechnet. *puh*



Abschließend: Keinen Stress, so dringend ist es nicht.



Gruß
Antwort
samson

samson

16:18 Uhr, 15.12.2005

Antworten
Hallo,



so, sind doch mehr als 4 Rechnungen geworden, bei denen es Ungereimtheiten gibt.



1) In welcher Zeit wächst ein zu i= 0,04 (Zinseszins) angelegtes Kapital von 10.000 auf 12.000? Lösung: 4 Jahre 7 Monate 23 Tage



2) Wann mann ein Kapital von 90.000 angelegt worden sein, damit es heute einen Wert von 100.000 hat (i= 0,05 p.a. Zinseszinsen) Lösung: 2 Jahre, 2 Monat, 27 Tage.



3)Auf welchen Wert wächst ein mit i = 0,05 angelegtes Kapital von 30000 in 4 Jahren 3 Monaten bei a) gemischter Verzinsung b) theoretischer Verzinsung

Lösung: a) 36921 b)3912,70



Da ich bei den Zinsen im Kurs aus Krankheitsgründen nicht anwesend war, weiß ich auch nicht, was theoretische Verzinsung bedeutet? ;-)



4)Mit 8000 Euro Einlage wird am 6.3. 2000 (Montag) ein Sparbuch eröffnet, am 22. 11. 2002 (Freitag) erfolgt eine Behabung von 3000 Euro. Welche Eintragung wird am 31.12.2003 am Konto des Sparbuchs erfolgen? Rechne mit i= 2 % (KEST:25%) Leider keine vorgegebene Lösung vorhanden!



5) Welchen Beitrag (ohne Provisionen und Spesen) erhält man für einen in 4 Monaten fälligen Wechsel über 20.000, der mit d=9 % diskontiert wird?

Lösung: 19400



6)Einer 8 Monate nach der Entlehnung fälligen schuld entspricht d=10% eiN Auszahlungsbetrag von 14.000 Euro. Wie hoch ist der entlehnte Betrag?

Lösung: 15.000



Die Lösung habe ich selber herausgefunden, bin aber für schnellere Lösungswege zu haben.



7) Wann ist ein Wechsel über 50.000 fällig, wenn man dafür heute 48950 von einer Bank bekommt. (d= 12 %)

Lösung: 2 Monate 3 Tage



8) Ein mit i=1% Zinseszins auf zwei Jahre angelegtes Kapital von 50.000 soll halbjährlich kapitalisiert werden, ohne dass sich am Wert des Endkapitals etwas verändert.

Ermittle den äquivalenten Semesterzinssatz und berechne den Wert des Endkapitals auf beide Arten!

Lösung: i2= 2,01 %, 54142,84



Und gottlob die letzte Nummer:



Ein mit 2 % (dekursiver Zinseszins) auf 3 1/2 Jahre verzinstes und halbjährlich kapitalisiertes Kapital von 10.000 Euro soll monatlich verzinst werden und dabeii dasselbe Endkapital erreichen.

Berechne den äquivalenten Monatszinssatz und damit den Wert des Endkapitals! Rechne zur Probe auch mit halbjähriger Kapitalisierung.

Lösung: i= 0,33, 11486 Euro.



Die andere Hälfte des Zettels ist schon gelöst! ;-)



Schon witzig. Die Wahrhscheinlichkeitsrechnung kapiere ich voll und ganz währendessen ich Probleme bei den Zinsen habe. ;-)



Gruß
Antwort
Alex

Alex

16:41 Uhr, 16.12.2005

Antworten
Die mache ich einzeln



1)

10000*(1.04)^n = 12000

(1.04)^n = 1,2

n = log_1.04 1.2 (Log zur Basis 1.04)



Generell rechnet man einen Log von b zur Basis a mit dem Taschenrechner als ln(b)/ln(a). Dabei ist ln der Log. naturalis. Es kann aber auch jeder andere Log sein, den du aufm Rechner hast (also zum Beispiel den zur Basis 10).

Du kriegst dann 7,... raus. Wenn du die Nachkommastellen mit 12 (Monaten) multiplizierst, kriegst du die Monatszahl und wenn du davon die Nachkommast. mit 30(Tagen) multiplizierst, kriegst du die Tage.
Antwort
Alex

Alex

17:01 Uhr, 16.12.2005

Antworten
Die 2) funktioniert wie die 1). Kannst du selbst. Ich komme allerdings auf 1 Monat anstatt 2!!



Zu 3) Schau mal unter www.mathe-online.at/materialien/maria.koth/files/allerlei/Zinseszinsen.doc



Ups, muss los... der Rest von mir oder jmd. anders irgendwann mal ;)

Antwort
samson

samson

20:37 Uhr, 16.12.2005

Antworten
Hallo Alex,



danke, danke, danke, der Link ist toll.



Apropo Link: Kennst du vielleicht ganz ähnliche Dokumente, wo nicht nur theoretisch die Rechnungen erklärt werden, sondern gleichzeitig auch solche Praxisbeispiele zu finden sind?



Vielleicht gibt es ja auch so etwas in der Art über die Differentialrechnung, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Integralrechnung, und Exponentialfunktion.



Wäre woll, wenn es auch so ein allgemeines Dokument geben würde.



Bei Mathe-online.at finde ich nichts, außer einzelne Dokumente mit Theorie ohne konkrete Beispiele dazu.



Ich habe heute das Dokument über die Zinseszinsen ausgedruckt, verstehe nun eigentlich fast alles darüber und bin nun ganz heiß auf ähnliche Dokumente. ;-)



Danke.



Gruß
Antwort
Alex

Alex

23:34 Uhr, 16.12.2005

Antworten
Hallo,



das Finden des Dokuments war reiner Zufall. Ich habe nur nach gemischter Verzinsung gegooglet. Aehnliche Dokumente kenne ich nicht, wuesste allerdings auch nicht so richtig, was gross drin stehen sollte, weil Integral- und Differentialrechnung in der Schule auf ein paar wenige Formeln zusammenschmelzen (partielle Integration, Substitution, Kettenregel, Produktregel, Quotientenregel, ...). Solche Dinge sind auch normalerweise in den Mathebuechern ganz gut erklaert. Ich wundere mich sowieso, wie Zinsrechnung da rein passt. Ist das eine Besonderheit der Matura in Oesterreich? In Deutschland haben wir das nicht im Abi. Eine Zusammenfassung der anderen Themen koennte man sicher mal schreiben, aber ich weiss nicht, ob es dafuer wirklich Bedarf gibt. Immerhin kann man einzelne Fragen ja auch hier im Forum stellen ;).



Gruss,

Alex
Antwort
samson

samson

15:26 Uhr, 19.12.2005

Antworten
Hi Alex,



ich mach derzeit in Österreich die Abendmatura, ich weiß nicht, ob in den höheren Schulen die Zinsen in der Matura enthalten sind.
Antwort
samson

samson

17:00 Uhr, 19.12.2005

Antworten
Hi Alex,



vergiss einmal Beispiel 1) und 4): Ich habe sie gelöst.
Antwort
samson

samson

17:06 Uhr, 19.12.2005

Antworten
Dafür habe ich jetzt 3 neue Beispiele parat. ;-)



1.5.A. Herr Maier erhält zwei Finanzierungsangebote für den Kauf eines Gebrauchtwagens.

Angebot A: 2000 Euro sofort, 500 Euro nach 1 Jahr, 1000 Euro nach 2 Jahren.

Angebot B: 500 Euro sofort, 800 Euro nach 1 Jahr, 2300 Euro nach 2 Jahren.

Für welches Angebot wird er sich entscheiden, wenn er mit a) 2% Zinsen, b) 5 % Zinsen rechnet?

c) Bei welchem Zinssatz wären beide Angebote gleichwertig?

Leider keine Lösung vorhanden!!!



1.5.B. Für den Kauf einer Liegenschaft gibt es zwei Angebote. A bietet 200.000 Euro sofort, 100.000 Euro in einem Jahr und weitere 150.000 Euro nach 3 Jahren.

B bietet sofort 300.000 Euro und einen Restbetrag von 150.000 Euro nach 5 Jahren.

Welches Angebot ist bei einem Zinssatz von 6 % für den Verkäufer besser..

Lösung: 562433, 551468,



1.5.C. Für eine Immobilie werden zwei Zahlungsvarianten geboten: 80.000 Euro sofort oder 100.000 in dreiJahren.

Bei welchem Zinssatz sind die beiden Angebote gleichwertig?

Lösung: 7,72 %



_______________



Ich bin mal gespannt, ob wir das hinbekommen. Du zumindest schon. ;-)



Gruß und Danke.
Frage beantwortet
Alex

Alex

11:47 Uhr, 20.12.2005

Antworten
Hallo,



ich wundere mich ueber die Beispiele. Sehen doch recht leicht aus, nach allem, was du inzwischen gerechnet hast.

1.5.C 80000*(1+x)^3=100000 <=> (5/4)^(1/3)-1 = 7,72

1.5.B Hier muss man aufpassen, weil es aus Sicht des Verkaeufers ist. Der ist natuerlich gluecklich, das Geld schnell zukriegen, weil er es dann anlegen kann. Weiterhin muss man, um die Angebote vergleichen zu koennen, ausrechnen, was bei beiden nach fuenf Jahren rauskommt:

A 200.000*1,06^5+100.000*1,06^4+150.000*1,06^2

B 300.000*1,06^5+150.000

1.5.A Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich die Aufgabe richtig verstehe, aber ich denke, man rechnet aus, was er uebrig behaelt, wenn er das Geld, das er nicht sofort ausgibt, anlegt und davon die Raten bezahlt. Einen Punkt, den man auch nicht vernachlaessigen darf, ist der, dass im zweiten Fall insgesamt 100 Euro mehr gezahlt werden muessen. Die kommen beim ersten noch hinzu:

a) (2000-2000)+(500*1,02-500)+(1000*1,02^2-1000)+100*1,02^2=500*0,02+1000*0,0404+100*1,02

(500-500)+(800*1,02-800)+(2300*1,02^2-2300)=800*0,02+2300*0,404

b) Kannste selber ;)

c) 500*x+1000*x^2+100*(1+x)=800*x+2300*x^2



Cheers,

Alex