Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Zinssatz umrechnen

Zinssatz umrechnen

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Finanzmathematik, unterjährige Verzinsung, Zinseszins

SirSherlock aktiv_icon

14:12 Uhr, 13.09.2020

Hallo zusammen,

folgende Aufgabe raubt mir wieder die Nerven, zumal keine Formel im Skript so recht passen mag:

Ein Sparvertrag wird abgeschlossen. Zu Beginn eines jeden Monats werden 7 Jahre lang

50

€ angespart.
Die Verzinsung betrage

a)

jährlich

5 %

b)

halbjährlich

2,5 %

c)

vierteljährlich

1,25 %

d)

monatlich

\frac{5}{12} %

Wie hoch ist der Rentenendwert, wenn auch unterjährig mit Zinseszinsen gerechnet wird?

Der Fall mit normalen Zinsen macht mir keine Probleme, mir geht es um den zinseszinslichen Fall.

Teilaufgabe

a)

hat auch noch funktioniert, da hier noch nicht unterjährig verzinst wurde:

50 \cdot [12 + \frac{0,05}{2} \cdot (12 + 1)] \cdot \frac{{1,05}^{7} - 1}{1,05 - 1} = 5017,51

Aber danach gelingt es mir nicht, den Zins

i

so umzurechnen, für den zinseszinlichen Fall...

Könnt ihr mir da nochmal aushelfen?
für

b) - d)

soll im zinseslichen Fall herauskommen:

b)

REW=5.027,96 €;

c)

REW

= 5 . 033,51

€;

d)

REW

= 5 . 037,33

€

Die Formeln, die ich verwendete, habe ich angehängt.

Ich weiß, dass es nicht so schwer sein kann, aber ich sehe es beim besten Willen nicht. Ich freue mich auf Euren Input...

Ein schönes Wochenende,
SirSherlock

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

supporter aktiv_icon

15:19 Uhr, 13.09.2020

b)

halbjährliche Ersatzsparrate

E :

E = 6 \cdot 50 + 50 \cdot \frac{0,05}{12} \cdot (6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) = 304,375

- \to E \cdot \frac{{1,025}^{14} - 1}{0,025} = 5027,96

c)Quartalsersatzsparrate

E :

E = 3 \cdot 50 + 50 \cdot \frac{0,05}{12} \cdot (3 + 2 + 1) = 151,25

- \to E \cdot \frac{{1,0125}^{28} - 1}{0,0125} = 5033,51

d)

Monatszinsfaktor

q = 1 + \frac{0,05}{12}

- \to 50 \cdot q \cdot \frac{q^{84} - 1}{q - 1} = 5037,33

SirSherlock aktiv_icon

16:29 Uhr, 13.09.2020

Hey supporter!

Vorab: Herzlichen Dank! Es ist sehr nett, dass du mir wiederholt unter die Arme greifst. Darf ich Dich noch etwas zur Formel der Ersatzsparrate fragen? Ich würde gerne "Deine" Formel genauer verstehen...

m =

unterjährige Zinsperioden=12

i =

Zins

r =

Monatsrentenrate

E = r_{e} =

Jahreskonforme Ersatzrentenrate

Ich habe versucht, "deine" Formel

(E)

in "meine Formel"

(r_{e})

zu überführen..., aber es ist nicht äquivalent, oder?

r_{e} = E

r \cdot [m \cdot \frac{i}{2} \cdot (m + 1)] = \frac{m}{2} \cdot r + r \cdot \frac{i}{m} \cdot \sum_{i = 1}^{\frac{m}{2}} (x_{i})

E = \frac{m}{2} \cdot r + r \cdot \frac{i}{m} \cdot \sum_{i = 1}^{6} (x_{i}) |

ausklammern von

r

E = r \cdot (\frac{m}{2} + \frac{i}{m} \cdot \sum_{i = 1}^{6} (x_{i}))

. .

. das wird doch niemals gleich, oder bin ich zu doof, es zu erkennen? Alleine schon das

\sum_{i = 1}^{6} (x_{i})

kommt doch in

r_{e}

gar nicht vor... Wäre der Sachverhalt auch mit

r_{e}

zu erfassen? Weil sonst brauche ich ja eine andere (deine) Formel.

Dann noch eine Frage zu

\sum_{i = 1}^{\frac{m}{2}} (x_{i}) -

Ich muss zugeben, dass ich erstaunt bin, dass das so funktioniert... Du hast ja so die Summe aller Jahre berechnet. Aber wieso funktioniert das so? Gerade weil doch halbjährlich verzinst wird. Warum hier die Formel vom kleinen Gauß?

Ich habe erst so gedacht:

(12 \cdot \frac{7}{2}),

aber das führt nicht zum Ziel.

Nochmals vielen Dank!
Beste Grüße, Sherlock

supporter aktiv_icon

16:51 Uhr, 13.09.2020

Nur wenn dasselbe rauskommt, ist deine Formel gleichwertig.
Ich bin nur mit meiner vertraut. Sie beruht auf der arithmetischen Reihe.
(anteilige Verzinsung am Zeitraumende).
Aber ich weiß, dass es auch eine andere Möglichkeit gibt.

SirSherlock aktiv_icon

16:57 Uhr, 13.09.2020

Ja, meine Formel scheint ja nicht gleichwertig zu sein... Da muss ich nochmal drüber nachdenken, ob das wirklich so ist oder eben auch nicht.
Warum summierst du die Jahre, wenn es doch um HALBjahre geht?

supporter aktiv_icon

17:07 Uhr, 13.09.2020

Ich summiere nur die Monate im unterjährigen Verzinsungszeitraum.
Damit erhält man die relevante Ersatzrate.

SirSherlock aktiv_icon

17:18 Uhr, 13.09.2020

Du hast ja vollkommen Recht, ich meine deine Ergebnisse sprechen ja für sich. Ich muss halt nochmal über die Formel nachdenken...

supporter aktiv_icon

17:23 Uhr, 13.09.2020

Bitte abhaken, wenn alles geklärt ist. :-)

SirSherlock aktiv_icon

17:26 Uhr, 13.09.2020

ja... lass mich da noch ein bisschen drüber nachdenken. Kann sein, dass ich mich hier nochmal melde... Aber klar, sobald ich es verstanden habe, hake ich ab.

SirSherlock aktiv_icon

10:51 Uhr, 14.09.2020

Hey supporter,
an welcher Stelle unterscheidet deine Formel zwischen vorschüssig und nachschüssig?

supporter aktiv_icon

11:27 Uhr, 14.09.2020

Sobald du die Ersatzrate verwendest, musst du nachschüssig rechnen.
Beim Ermitteln dieser Rate kommts drauf an, wann eingezahlt wird

(z . B

. am Monatsanfang
oder Monatsende)

SirSherlock aktiv_icon

12:08 Uhr, 14.09.2020

Und was machst du, wenn vorschüssig gezahlt werden soll?

supporter aktiv_icon

12:23 Uhr, 14.09.2020

An welchen Fall denkst du? Beispiel?
Das Beispiel hier war vorschüssig, wenn es um die Ermittlung der Ersatzrate geht.
Ich verstehe nicht ganz, was genau du meinst?

SirSherlock aktiv_icon

12:28 Uhr, 14.09.2020

Sorry, dann habe ich mich missverständlich ausgedrückt.
Also: In der Aufgabe geht es ja um vorschüssige Zahlungen. Dann meintest du eben:
" Sobald du die Ersatzrate verwendest, musst du nachschüssig rechnen."

Und das verwirrt mich ehrlicherweise... Weil ja trotzdem das richtige Ergebnis rauskommt...

supporter aktiv_icon

12:38 Uhr, 14.09.2020

Um die Ersatzrate zu berechnen musst die vorschüssig rechnen, weil hier immer
am Monatsanfang eingezahlt wird.
Wenn du diese hast, rechnest du nachschüssig weiter.
Diese Rate fällt ja bei

b)

nach einem halbem Jahr erstmals an, bei

c)

nach 3 Monaten

(= 1

Quartal).
Würde am Monatsende eingezahlt, ändert sich die arithmetische Reihe:

b) 50 \cdot 6 + 50 \cdot \frac{0,05}{12} \cdot (5 + 4 + 3 + 2 + 1)

Erkennst du den Unterschied nun?

SirSherlock aktiv_icon

12:47 Uhr, 14.09.2020

"Um die Ersatzrate zu berechnen musst die vorschüssig rechnen, weil hier immer am Monatsanfang eingezahlt wird."

Ja, dass ist mir klar.

"Wenn du diese hast, rechnest du nachschüssig weiter." Davor ging das, was du geschrieben hast, ja in eine ähnliche Richtung, da hast du folgendes gesagt: "Sobald du die Ersatzrate verwendest, musst du nachschüssig rechnen."

Gilt das immer? Oder nur bei dieser Aufgabe? Warum muss ich das? Hier liegt mein Verständnisproblem, glaube ich.

"Würde am Monatsende eingezahlt, ändert sich die arithmetische Reihe: (...)"
Ja, den Unterschied sehe ich (jetzt) :-)

supporter aktiv_icon

12:56 Uhr, 14.09.2020

Ja, die Ersatzrate ist immer eine nachschüssige Rate, weil sie immer am Ende des
jeweiligen Zeitraums anfällt, also hier nach 6 bzw. 3 Monaten.
Mit dieser Rate wird dann mit dem jeweiligem Zeitraumzins (halbjährlich bzw.
vierteljährlich) weitergerechnet, nachdem man die Anzahl dieser Zeiträume
bestimmt hat. 7 Jahre

= 14

Halbjahre

= 28

Quartale.

So verständlicher?

supporter aktiv_icon

11:29 Uhr, 17.09.2020

Hast du noch Fragen?
Warum wird der Thread täglich reaktiviert?

SirSherlock aktiv_icon

11:40 Uhr, 17.09.2020

Hey supporter,
jein, also die Aufgaben hast du ja abschließend berechnet und das habe ich (mittlerweile) auch alles verstanden. (Danke!) Was (für mich) noch offen geblieben ist, ist die Tatsache / Frage, wie "meine" Formel da funktioniert. Ich bin am Montag mit Kommilitonen verabredet und dann wollten wir da nochmal gemeinsam drauf schauen. Ich erwarte nicht von Dir (Euch), dass ihr Euch mit meiner Formel auseinandersetzt, deswegen habe ich jetzt die letzten Tage nicht erneut geschrieben / gefragt. Ich wollte den Thread trotzdem noch bis Montag offen lassen und hoffe, dass das niemanden stört. Ich denke mir halt, dass wenn jemand später drauf stößt, sieht er halt beide Lösungswege (deinen und meinen). Ich habe auch den persönlichen Ehrgeiz, dass hier noch gebacken zu bekommen.

Jetz bekomme ich dauernd Mails. ob ich "noch Interesse an der Frage" habe, das meinst du wahrscheinlich. Kann ich hier sonst auch antworten, wenn ich die Frage auf erledigt setze? (ich meine ja). Wenn Dir das lieber ist, machen wir dass dann so.

Sorry für den Aufsatz. Möchte nur nicht falsch verstanden werden. Ich freue mich nämlich immer, wenn hier ein bisschen Licht ins Dunkel kommt :-)

Viele Grüße
SirSherlock

supporter aktiv_icon

12:09 Uhr, 17.09.2020

Führt dein Weg denn zum selben Ergebnis?
Ich habs nicht nachgerechnet.

SirSherlock aktiv_icon

12:11 Uhr, 17.09.2020

Leider (noch) nicht. Es weicht um ein paar Euro ab, bei der jahreskonformen Ersatzrentenrate und dann halt noch mehr beim Rentenendwert.

: - (

Enano

20:35 Uhr, 22.09.2020

Hallo,

"Weil sonst brauche ich ja eine andere (deine) Formel."

nein, die brauchst du nicht, wenn du in "deine" Formel die richtigen Werte einsetzt.
Die Ermittlung der Ersatzrate nach deiner Formel erfolgt im Gegensatz zu supporters Formel nach der Methode des mittleren Zahlungstermins.
Du müsstest für "i" in deine Formel nur den entsprechenden Zinssatz für die jeweilige Zinsperiode einsetzen, also bei

b) z . B

0,025

bei

m = 6

und

r = 50,

um auf das richtige Ergebnis zu kommen.

Unter dem mittleren Zahlungstermin einer Zahlungsreihe ist derjenige Fälligkeitstermin zu verstehen, zu dem die nominelle Summe aller Einzelzahlungen auf äquivalente Weise gezahlt werden könnte. Der mittlere Zahlungstermin lässt sich bei dieser Aufgabe besonders leicht angeben, weil sämtliche Einzelzahlungen symmetrisch zu einem Zeitpunkt liegen.
Bei

b) z . B

. läge der mittlere Zahlungstermin

3,5

Monate vor Halbjahresende.
Wegen der vorschüssigen Zahlungen liegt die Symmetrieachse bei

2,5

Monaten. Von hier bis zum Halbjahresende sind es noch

3,5

Monate. Bei Zahlungen von insgesamt 6*50€ im Halbjahreszeitraum werden 3*50€ um dieselben Zeitspannen zu spät gezahlt, wie die anderen 3*50€ zu früh gezahlt werden. Zinsverlust und Zinsgewinn gleichen sich bei linearer Verzinsung genau aus.
Die Halbjahresersatzrate bei

b)

wäre also:

r_{e} =

50€

\cdot 6 +

300€

\cdot 3,5 \cdot (\frac{0,025}{6}) =

304,375€.

Gruß
Enano

SirSherlock aktiv_icon

12:32 Uhr, 23.09.2020

Hallo enano,
jetzt hat es Klick gemacht! Vielen Dank, dass Du trotz der Länge des Threads dich noch eingelesen hast! Super stark!

Frage nun vollumenfänglich beantwortet!
Euer SirSherlock

Enano

12:57 Uhr, 23.09.2020

Habe meinen Beitrag gerade noch ergänzt, damit er verständlicher wird.

1512553

1511896

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?