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Zirkulation mit Satz von Green

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Green, Integration, Polarkoordinaten

robexh aktiv_icon

22:04 Uhr, 26.08.2019

Hallo Zusammen,
ich hänge gerade bei folgender Aufgabe fest:

Ich habe eine Kurve, welche durch

C (t) =

(tcos(t),tsin(t)) für

t \in [2 π, 3 π]

und

C (t) = (t - 6 π, 0)

für

t \in [3 π, 8 π]

parametrisiert ist. Die von der Kurve eingeschlossene Fläche nennen wir mal

J

Zudem ist das Vektorfeld

g (x, y) = (- y, x)

gegeben.

Nun soll ich mit Hilfe des Satzes von Green die Zirkulation berechnen.

Zunächst habe ich die dafür notwendige Rotation von

g

berechnet mit rotg

= 2

und daraufhin den Satz von Green angewandt:

\int \int_{J}

rot

g (x, y) d x d y = \int \int_{J} 2 d x d y

Soweit so gut, nun folgt laut Musterlösung eine Transformation in Polarkoordinaten:

\int_{2 π}^{3 π} \int_{0}^{\emptyset} 2 r

drd∅

= \frac{19}{3} π^{3}

Nun zu meinem Problem:
Die Grenzen des äußeren Integrals kann ich noch nachvollziehen, da der Winkel

\emptyset

laut Parametrisierung von

2 π

bis

3 π

läuft. Jedoch komme ich nicht auf das Ergebnis

\frac{19}{3} π^{3}

. Die obere Grenze des inneren Integrals verstehe ich als den maximalen Radius des parametrisierten Kreises, also

\frac{5}{2} π

.
Könnte mir jemand meinen Denkfehler aufzeigen?
Vielen Dank im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

23:02 Uhr, 26.08.2019

Hallo
du integrierst

r

bis

Θ

also hast du als Ergebnis

Θ^{2}

wa du dann über

Θ

integrierst.

(C (t)

ist übrigens kein Kreis,) der "Radius"

r = t

hängt doch von

t

ab das hier zum

d Θ

wird, verstehst du es besser, wenn an der Grenze

t

stünde und dt?
Gruß ledum

robexh aktiv_icon

23:14 Uhr, 26.08.2019

Hallo, vielen Dank für deine schnelle Antwort,
durch das Einsetzen von

\emptyset

als obere Integrationsgrenze komme ich nun auf das richtige Ergebnis.

Ganz klar ist mir jedoch noch nicht die Herleitung des transformierten Integrals:

\int_{2 π}^{3 π} \int_{0}^{\emptyset} 2 r

d \emptyset

Nach meinen bisherigen Verständnis bedeutet dieses Integral, grob gesagt, dass der Winkel

\emptyset

im Bereich

2 π

bis

3 π

liegt und der Radius

r

dementsprechend von 0 bis zum "aktuellen" Wert von

\emptyset,

was auch durchaus Sinn ergibt laut Skizze (Fälschlicherweise dachte ich es wäre ein Kreis ;-)
Jedoch würde ich alleine wohl niemals auf diesen Ansatz kommen. Gibt es denn ein Verfahren, welches ich befolgen kann, um auf diesen Ansatz zu kommen oder muss ich es aus einer Skizze herleiten?

Viele Grüße

ledum aktiv_icon

12:50 Uhr, 27.08.2019

Hallo
wenn man aus der Darstellung nicht direkt sieht, dass der Radius bis

t

bzw

θ

geht, braucht man wohl ne Skizze, aber dass

x^{2} + y^{2} = t^{2}

ist sollte man eigentlich sehen.
Gruß ledum

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