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Startseite » Forum » (Z/pZ)^x ist bzgl. Multipl. eine Abel. Gruppe
(Z/pZ)^x ist bzgl. Multipl. eine Abel. Gruppe
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: abelsche Gruppe, Gruppen, Primzahl
 
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Hallo, ich habe eine Aufgabe auf einem Übungsblatt, bei der ich auf keinen richtigen Ansatz komme. Die Aufgabe lautet: ist Primzahl. Zeige dass (Z/pZ)^x bezüglich der Multiplikation eine abelsche Gruppe ist, wobei (Z/pZ)^x Z/pZ\0}. Grundlegende Aussagen zu Primzahlen dürfen verwendet werden. Ich freue mich, wenn mir jemand weiterhelfen kann! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, ist dir wenigstens grundlegend klar, was zu tun ist? Mfg Michael |
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Also ich denke man soll die Gruppeneigenschaften nachweisen und dann noch die Kommutativität für abelsch. Ich glaube mein Hauptproblem ist, dass ich die Z/pZ Konstruktion nicht verstehe. |
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Hallo, ok, das ist leicht behoben. ist irgendeine Primzahl, also 2 oder 3 oder 5 oder oder oder. (Aber nicht 1. 1 ist keine Primzahl!) Nun betrachten wir erst einmal alle ganzen Zahlen (also auch die negativen). Manche von diesen Zahlen wollen wir als "gleich" ansehen, nämlich dann, wenn ihre Differenz durch teilbar ist. (S. Vorlesung) Beispiel: Die Zahlen 2, 7, 12, 17, aber auch -3 oder -33 werden alle als gleich angesehen. Man schreibt das gerne mal als , wenn man alle diese Zahlen meint, die man als mit der 2 gleichwertig ansieht. Mit den Zahlen kannst du nun "+", "-" und "" im Wesentlichen so rechnen, wie du es von den ganzen Zahlen gewohnt bist, wenn du berücksichtigst, dass das Ergebnis wieder für viele gleichwertige Zahlen steht. Es ist recht anstrengend, hier (besonders) derartige Infos hineinzuschreiben, wenn es doch ziemlich viele gute schon fertige Quellen gibt. Suche nach Restklassengruppen oder -ringen für mehr. Oder schau in deine Mitschrift/dein Skript. Nur mitzuteilen, dass man es nicht verstehe, genügt in diesem Fall nicht mehr. Du könntest aber in diesem Zusammenhang konkrete Fragen stellen, die ich dir gerne beantworte. Aber eine (nochmalige) Vorlesung hier mit diesen Möglichkeiten abzuhalten, ist anstrengend. (Sicher verstehst du das.) Mfg Michael |
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Danke für die Erklärung. Ich denke nun kann ich die Aufgabe lösen :-) |
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Ich melde mich nochmal. Und zwar bin ich beim Multiplikativen Inversen von Zp hängen geblieben. Kann mir jemand diesbezüglich helfen? |
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> Und zwar bin ich beim Multiplikativen Inversen von Zp hängen geblieben Wo genau hängst du da: Bei der Frage, ob es existiert? Habt ihr bereits das Lemma von Bézout kennengelernt? Das besagt für teilerfremde (mit anderen Worten: ist nicht durch teilbar), dass es ganze Zahlen gibt mit ... |
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Ja zum einen, dass es eins gibt und zum anderen der Beweis, dass es für alle Zp gilt. Das Lemma hatten wir noch nicht. Wir dürfen allerdings „bekannte“ Eigenschaften von Primzahlen annehmen. |
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Ich hatte zunächst jetzt an einen Beweis unter Nutzung des bekannteren Lemma von Euklid gedacht de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Euklid , aber wie ich an dessen Beweis sehe, fußt das auch auf dem Lemma von Bézout. ;-) |
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Hallo, bewegen wir uns also innerhalb von . Sei . Behauptung: Die Multiplikation ist injektiv. Denn: Aus folgt . Da aber gilt, gilt insbesondere . Da als Ring nullteilerfrei ist, muss also bzw. gelten. Da die Multiplikation (für jedes ) injektiv ist, muss sie auch bijektiv sein, da endlich ist. Also muss 1 ein Urbild haben, es gilt also , d.h. hat das multiplikative Inverse . Warum nullteilerfrei ist: Seien , d.h. . Da prim ist, folgt insbesondere bzw. . Damit sollten wir doch klar kommen, oder? Mfg Michael |
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> . Da prim ist, folgt insbesondere Eben das ist das Lemma von Euklid. Ich finde es irgendwie kurios, dass der Beweis mit Hilfe des Lemma von Euklid (welches wiederum auf Bézout fußt) komplizierter ist als der direkte Beweis mit Bézout: Zu sowie einer nicht durch teilbaren ganzen Zahl existieren laut Bézout ganze Zahlen mit . Damit ist unmittelbar in klar. |
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Hallo, hm, ja, das ist es. Ich nehme aber trotzdem an, dass man diese Eigenschaft verwenden darf (da Grundlegende Aussage(n) zu Primzahlen). Näheres wird der OP wohl erst beim Übungsleiter erfragen können... Mfg Michael |
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So schwer ist der Beweis von Bézout ja auch nicht, im entsprechenden Wiki-Artikel sind die paar Zeilen dazu sogar angeführt. Wenn man die noch vorab mit anführt, hat man in etwa dieselbe Beweis-Gesamtlänge wie die oben beim Beweis mit Euklid. ------------------------------------------------------------------- Von der Komplexität des Beweises her gilt aufsteigend: Lemma von Bézout -> Lemma von Euklid -> Fundamentalsatz der Arithmetik Dennoch erscheinen die letzten beiden leichter, weil sie im Schulunterricht kennengelernt (aber dort wohl nicht bewiesen) worden und damit eher akzeptiert werden als ersteres (im Bekanntheitsgrad geringer). |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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