|
Hallo! Ich muss glaube ich auf eure Hilfe zurückgreifen:
Gegeben seien Primzahlen , , wobei nicht teilt, sowie eine Gruppe mit . Zu zeigen: ist zyklisch.
Ich habe bereits gezeigt, dass es genau eine -elementige -Sylowuntergruppe bzw. -elementige -Sylowuntergruppe gibt, welche zyklisch sind, und es gilt .
Nun muss ich doch bloß noch zeigen, dass es einen Gruppenisomorphismus gibt, oder?
Die Abbildung ist offensichtlich ein Homomorphismus. Zum Isomorphismus fehlt dann nur noch das Bijektivsein, was ich hätte, wenn ich zeige, oder?
I'm puzzled :-)
Nachtrag: Weil die nichtneutralen Elemente von bzw. die teilerfremden Ordnungen bzw. haben, hat jedes die Ordnung . Bringt mir das was?
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
|
|
Hallo, ich sehe nicht, wieso dein ein Homomorphismus sein soll. Gruß ermanus
|
|
Es gilt , oder?
|
|
Ich komme auf: . Warum soll das sein ?
|
|
Gute Frage! :-D) Ist es nicht...
Kannst du mir dabei helfen, was ich letztlich noch zeigen muss, damit bewiesen ist, dass zyklisch ist?
|
|
Hallo,
ok, davon ausgehend, dass Normalteiler von der Ordnung respektive sind und , nimm dir Erzeuger von und von und zeige, dass sie kommutieren. Dann läuft dein Beweis auch durch.
Mfg Michael
|
|
Hallo, seien . Zeige, dass ist, indem du dir Gedanken über machst ... Gruß ermanus
P.S.: Ah, Michael war schneller ;-) Um seinen Vorschlag umzusetzen, kannst du meine Darstellung der Kommutatoren verwenden ...
|
|
Danke euch beiden! Ich wollte vorhin direkt antworten, war aber spät dran und musste los...
Ich habe mir Gedanken über deine Gleichung gemacht, ermanus: In der rechten Klammer steht ja das Konjugierte von und in der linken das von . Ich könnte die beiden Elemente also durch ein Element bzw. ersetzen. Diese sind aber nicht notwendigerweise bzw. ...
Ich fürchte, ich brauche noch mehr Hilfe...
Nachtrag: An was ich gerade noch denke sind die Ordnungen der Elemente, z.B. ...
|
|
Du warst vielleicht schon auf dem richtigen Wege? Es ist und , da ein Normalteiler ist, damit ist , analog ist und , also . Was kannst du daraus schließen ;-)
|
|
Ich glaube, der Groschen ist endlich gefallen? Ich habe...
, was nur sein kann, wenn links und rechts das neutrale Element steht.
Somit ist und , was genau dann der Fall ist, wenn und kommutieren?
|
|
Ja, das war's :-) Wegen , folgt , also . Und jetzt kannst du auch dein " und , folglich " verwenden ... Gruß ermanus
|
|
"Ja, das war's :-)" Das darf man bei mir nie zu früh sagen :-D)
Ich weiß, dass abelsch ist und die Elemente mit den Ordnungen , und sowie mit der Ordnung hat. Insgesamt sind es Elemente.
Jetzt fehlt mir noch das abschließende Totschlagargument, warum die Gesamtgruppe zyklisch ist... :(
|
|
Hallo,
sind und Erzeuger, so hat welche Ordnung nochmal?
Mfg Michael
|
|
Die Ordnungen multiplizieren sich, in meinem Fall .
|
|
Und wie war noch gleich die Ordnung der Gruppe?
|
|
Ähm auch :-D)
Ich glaube, ich denke gerade zu viel. Oder auch nicht! Ich dachte gilt bereits, wenn die Ordnungen teilerfremd sind. Aber die Gruppe muss auch abelsch sein! Jetzt verstehe ich endlich, warum ihr mir die Kommutativität aufbinden wolltet :-D)
Dann habe ich es jetzt ich wirklich! Bis auf eine Sache... Warum sind und eigentlich Normalteiler? Schon bezogen auf , oder?
Ich muss zeigen, dass gilt ist.
|
|
Hallo,
alle -Sylowuntergruppen von sind konjugiert. Gibt es nur eine, dann ist dies ein Normalteiler!
Ich hätte etwa so argumentiert: Sei , . Dann gilt: , d.h. es gibt ein mit ( ist Erzeuger von !). Dann (von rechts mit multiplizieren) gilt: (!!!). Damit gilt . Das bedeutet: , d.h. die Erzeuger von und vertauschen. Damit wird die Abbildung zu einem Homomorphismus, injektiv mal oben drauf, also schon bijektiv (da , endlich sind und gleichmächtig).
Noch Fragen?
Mfg Michael
|
|
Nein, keine mehr!
Vielen lieben herzlichen Dank euch beiden! :-) :-)
Und deine Erläuterung ist ebenfalls interessant, michaL. Das wollte ich eigentlich auch ursprünglich so machen mit Homomorphismus... Mir scheint sowieso, als würden hier mehrere Wege nach Rom führen, was es nicht gerade leichter macht für mich...
War mir echt ein bisschen unangenehm, dass ich so viel Fragen musste...
|
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
|