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Zu zeigen: Gruppe ist zyklisch

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Tags: Gruppen, Gruppenisomorphismus, zyklische Gruppen

 
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Eisregen

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12:39 Uhr, 17.11.2019

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Hallo! Ich muss glaube ich auf eure Hilfe zurückgreifen:

Gegeben seien Primzahlen p,q, p<q, wobei p nicht q-1 teilt, sowie eine Gruppe G mit G=pq. Zu zeigen: G ist zyklisch.

Ich habe bereits gezeigt, dass es genau eine p-elementige p-Sylowuntergruppe P bzw. q-elementige q-Sylowuntergruppe Q gibt, welche zyklisch sind, und es gilt PQ={e}.

Nun muss ich doch bloß noch zeigen, dass es einen Gruppenisomorphismus φ:P×QG gibt, oder?

Die Abbildung φ:P×QG,(x,y)xy ist offensichtlich ein Homomorphismus. Zum Isomorphismus fehlt dann nur noch das Bijektivsein, was ich hätte, wenn ich P×Q=G=pq zeige, oder?

I'm puzzled :-)


Nachtrag: Weil die nichtneutralen Elemente von P bzw. Q die teilerfremden Ordnungen p bzw. q haben, hat jedes z(P×Q)\(PQ) die Ordnung pq. Bringt mir das was?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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ermanus

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13:57 Uhr, 17.11.2019

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Hallo,
ich sehe nicht, wieso dein φ ein Homomorphismus sein soll.
Gruß ermanus
Eisregen

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15:07 Uhr, 17.11.2019

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Es gilt φ((x1,y1)(x2,y2))=(x1y1)(x2,y2)=φ(x1,y1)φ(x2,y2), oder?
Antwort
ermanus

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15:12 Uhr, 17.11.2019

Antworten
Ich komme auf:
φ((x1,y1)(x2,y2))=φ((x1x2,y1y2))=(x1x2)(y1y2)=x1x2y1y2.
Warum soll das =x1y1x2y2 sein ?
Eisregen

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10:40 Uhr, 18.11.2019

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Gute Frage! :-D) Ist es nicht...

Kannst du mir dabei helfen, was ich letztlich noch zeigen muss, damit bewiesen ist, dass G zyklisch ist?
Antwort
michaL

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10:53 Uhr, 18.11.2019

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Hallo,

ok, davon ausgehend, dass P,Q Normalteiler von G der Ordnung p respektive q sind und PQ={e}, nimm dir Erzeuger x von P und y von Q und zeige, dass sie kommutieren. Dann läuft dein Beweis auch durch.

Mfg Michael
Antwort
ermanus

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10:54 Uhr, 18.11.2019

Antworten
Hallo,
seien xP,yQ.
Zeige, dass xy=yx ist, indem du dir Gedanken über
x(yx-1y-1)=(xyx-1)y-1
machst ...
Gruß ermanus

P.S.: Ah, Michael war schneller ;-)
Um seinen Vorschlag umzusetzen, kannst du meine Darstellung
der Kommutatoren verwenden ...
Eisregen

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17:51 Uhr, 18.11.2019

Antworten
Danke euch beiden! Ich wollte vorhin direkt antworten, war aber spät dran und musste los...

Ich habe mir Gedanken über deine Gleichung x(yx-1y-1)=(xyx-1)y-1 gemacht, ermanus: In der rechten Klammer steht ja das Konjugierte von y und in der linken das von x-1. Ich könnte die beiden Elemente also durch ein Element Q bzw. P ersetzen. Diese sind aber nicht notwendigerweise x bzw. y-1...

Ich fürchte, ich brauche noch mehr Hilfe...


Nachtrag: An was ich gerade noch denke sind die Ordnungen der Elemente, z.B. ordx=p,ordy=q,ord(xy)=pq...
Antwort
ermanus

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18:00 Uhr, 18.11.2019

Antworten
Du warst vielleicht schon auf dem richtigen Wege?
Es ist xP und yx-1y-1P, da P ein Normalteiler ist,
damit ist xyx-1y-1P, analog ist
xyx-1Q und y-1Q, also xyx-1y-1Q.
Was kannst du daraus schließen ;-)
Eisregen

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18:11 Uhr, 18.11.2019

Antworten
Ich glaube, der Groschen ist endlich gefallen? Ich habe...

Px(yx-1y-1)=(xyx-1)y-1Q, was nur sein kann, wenn links und rechts das neutrale Element steht.

Somit ist yx-1y-1=x-1 und xyx-1=y, was genau dann der Fall ist, wenn x und y kommutieren?
Antwort
ermanus

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18:16 Uhr, 18.11.2019

Antworten
Ja, das war's :-)
Wegen PQ={e}, folgt xyx-1y-1=e, also xy=yx.
Und jetzt kannst du auch dein "ord(x)=p und ord(y)=q, folglich
ord(xy)=pq" verwenden ...
Gruß ermanus
Eisregen

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18:39 Uhr, 18.11.2019

Antworten
"Ja, das war's :-)"
Das darf man bei mir nie zu früh sagen :-D)

Ich weiß, dass P×Q abelsch ist und die Elemente {e,x,...,xp-1,y,...,yq-1} mit den Ordnungen 1, p und q sowie {xy,...,xyq-1,...,xp-1y,...,xp-1yq-1} mit der Ordnung pq hat. Insgesamt sind es pq Elemente.

Jetzt fehlt mir noch das abschließende Totschlagargument, warum die Gesamtgruppe zyklisch ist... :(
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

18:41 Uhr, 18.11.2019

Antworten
Hallo,

sind xP und yQ Erzeuger, so hat xy welche Ordnung nochmal?

Mfg Michael
Eisregen

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18:43 Uhr, 18.11.2019

Antworten
Die Ordnungen multiplizieren sich, in meinem Fall ord(xy)=pq.
Antwort
ermanus

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18:51 Uhr, 18.11.2019

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Und wie war noch gleich die Ordnung der Gruppe?
Eisregen

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19:36 Uhr, 18.11.2019

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Ähm auch pq :-D)

Ich glaube, ich denke gerade zu viel. Oder auch nicht! Ich dachte ordxordy=pq gilt bereits, wenn die Ordnungen teilerfremd sind. Aber die Gruppe muss auch abelsch sein! Jetzt verstehe ich endlich, warum ihr mir die Kommutativität aufbinden wolltet :-D)

Dann habe ich es jetzt ich wirklich! Bis auf eine Sache... Warum sind P und Q eigentlich Normalteiler? Schon bezogen auf P×Q, oder?

Ich muss zeigen, dass xP,yP×Q gilt yxy-1P ist.
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

19:49 Uhr, 18.11.2019

Antworten
Hallo,

alle p-Sylowuntergruppen von G sind konjugiert. Gibt es nur eine, dann ist dies ein Normalteiler!

Ich hätte etwa so argumentiert:
Sei P=x, Q=y. Dann gilt: x-1yxQ, d.h. es gibt ein 0<k<q mit x-1yx=yk (y ist Erzeuger von Q!).
Dann (von rechts mit y-1 multiplizieren) gilt: yk-1=x-1(yxy-1)P (!!!). Damit gilt k-1=0k=1.
Das bedeutet: x-1yx=yyx=xy, d.h. die Erzeuger von P und Q vertauschen.
Damit wird die Abbildung P×QG;(xk;yl)xkyl zu einem Homomorphismus, injektiv mal oben drauf, also schon bijektiv (da G, P×Q endlich sind und gleichmächtig).

Noch Fragen?

Mfg Michael
Eisregen

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20:33 Uhr, 18.11.2019

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Nein, keine mehr!

Vielen lieben herzlichen Dank euch beiden! :-) :-)

Und deine Erläuterung ist ebenfalls interessant, michaL. Das wollte ich eigentlich auch ursprünglich so machen mit Homomorphismus... Mir scheint sowieso, als würden hier mehrere Wege nach Rom führen, was es nicht gerade leichter macht für mich...

War mir echt ein bisschen unangenehm, dass ich so viel Fragen musste...
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