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Zu zeigen, dass G eine Gruppe ist?
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen, kommutative Gruppe, Untergruppe, Verknüpfung
 
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Hallo Ihr Lieben, ich stehe wieder vor einer Aufgabe bei der ich nicht weiterkomme bzw. mir der Ansatz wieder sehr schwer fällt. Sei \1} und die Abbildung: Zeigen Sie: ist eine Verknüpfung auf das heißt für alle . ist eine kommutative Gruppe. ist eine Untergruppe von G. So, hier nun meine Lösungsansätze dazu. Wie kann ich das im Allgemeinen zeigen bzw. beweisen? Einige Beispiele werden ja nicht ausreichen?! Muss ich hier die Axiome (Assoziativität, neutrales Element, inverses Element) aufzeigen? Das bedeutet, dass ich zeigen muss: für . Wäre dass dann: (b+a-ba)? Aber wie komme ich dahin? Der Beweisweg ist für mich nicht ersichtlich. Das ist doch eigentlich ein konkretes Beispiel für eine Untergruppe in G. Muss ich hier dann die Axiome für die Untergruppe (neutrales Element, Inverse, Abgeschlossenheit) zeigen? Ich wäre euch sehr dankbar, wenn Ihr mir sagen könntet, ob ich auf dem richtigen Gedankenweg bin und vielleicht wie ich weiter vorgehen kann. |
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Hallo, Addition, Subtraktion und Multiplikation von reellen Zahlen liefert wieder reelle Zahlen (und damit Elemente von G). Ein Knackpunkt: da laut Definition 1 nicht in G enthalten sein soll, darf die beschriebene Verknüpfung von Werten a und b ungleich 1 niemals (für kein Paar (a,b)) den Wert 1 ergeben. Weise also nach, dass 1 nie entstehen kann. |
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Okay, das klingt bisher einleuchtend. Doch wie kann ich das zeigen bzw. beweisen? Eventuell über einen Indirekten Beweis, sodass ich nachher auf einen Widerspruch komme? |
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"Wäre dass dann: (b+a-ba)? Aber wie komme ich dahin? " Die letzte Frage ist lustig. Du hast doch einfach nur die Definition deiner Verknüpfung angewendet und bist so da hin gekommen. Weil die Addition und auch die Multiplikation reeller Zahlen nun mal seit deinen Grundschultagen kommutativ ist, ist ab=ba und a+b=b+a und somit auch a+b-ba=b+a-ab. Zur Untergruppe: Wenn sie nur die beiden Elemente 0 und 2 hat, dann musst du zeigen, dass alle möglichen Verknüpfungen von ihnen (0 mit 2, 0 mit 0 und 2 mit 2) nicht aus dieser Untergruppe hinausführen (die Möglichkeit 2 mit 0 kannst du weglassen, wenn du 0 mit 2 behandelt hast und auf die nachgewiesene Kommutativität verweist). |
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"Okay, das klingt bisher einleuchtend. Doch wie kann ich das zeigen bzw. beweisen? Eventuell über einen Indirekten Beweis, sodass ich nachher auf einen Widerspruch komme? :( Ja. Nimm an, dass es ein Paar (a,b) aus G gibt, für das a+b-ab=1 gilt. Das führt in zwei Zeilen darauf, dass a oder b 1 sein müsste. |
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Okay, vielen lieben Dank! Ich versuche mich nochmal an der Aufgabe. Jetzt hab ich einen deutlich besseren Durchblick! :-) |
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