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Zufallstichsprobe Varianz

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Zufallsvariablen

Tags: Zufallsvariablen

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15:34 Uhr, 14.10.2021

Sei X1,...,Xn eine Zufallsstichprobe und X̅ und

S^{2}

auf die übliche Art berechnet.

(a)

Zeigen Sie, dass

S^{2} = \frac{1}{2 n (n - 1)} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} {(X i - X j)}^{2}

Nehmen Sie nun an, dass die

X i s

endliche vierte Momente besitzen und bezeichnen sie mit θ1

= E X i,

θj

= E (X i -

θ1)^j

, j = 2,3,4

Ich habe zwar eine Lösung, würde diese jedoch gerne besser verstehen, vor allem den letzten Schritt wo die Summe von

j

einfach verschwindet. Vielleicht könnte mir jemand die Lösung Schritt für Schritt noch etwas näher bringen. Vielen Dank!

HAL9000

16:09 Uhr, 14.10.2021

Doppelsummen der Struktur

\sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} b_{j}

kann man wunderbar "trennen": Aus der inneren Summe kann man das von

j

unabhängige

a_{i}

als Faktor herausziehen:

\sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} b_{j} = \sum_{i = 1}^{k} (a_{i} \sum_{j = 1}^{n} b_{j}) = \sum_{i = 1}^{k} (a_{i} \cdot B)

mit der von

i

unabhängigen Summe

B := \sum_{j = 1}^{n} b_{j}

. Nun kann man auch noch dieses

B

aus der äußeren Summe rausziehen, d.h.,

\dots = B \cdot \sum_{i = 1}^{k} a_{i}

.

Zusammenfassend gilt daher

\sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} b_{j} = (\sum_{i = 1}^{k} a_{i}) \cdot (\sum_{j = 1}^{n} b_{j})

, d.h., statt einer Doppelsumme mit insgesamt

k \cdot n

Summanden hat man nur noch zwei Summen mit den i.a. deutlich kleineren Summandenzahlen

k

und

n

, und diese beiden Summen muss man am Ende miteinander multiplizieren. (Etwas bei

k = n = 1000

macht das am Ende 2000 Additionen und 1 Multiplikation statt 1000000 Additionen und 1000000 Multiplikationen...)

Nichts anderes wird hier angewandt, und zwar auf

k = n

sowie

a_{i} = X_{i} - \overline{X}

und

b_{j} = X_{j} - \overline{X}

. Tja, und es ist nun mal

\sum_{j = 1}^{n} b_{j} = \sum_{j = 1}^{n} (X_{j} - \overline{X}) = (\sum_{j = 1}^{n} X_{j}) - n \overline{X} = 0

basierend auf der Mittelwertdefinition

\overline{X} := \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{j}

.

------------------------------------------

Nach dieser ja eher vorbereitenden Rechnung eine Frage:

Der Abschnitt mit den Festlegungen

θ_{1} := E X_{i}

und

θ_{j} := E (X_{i} - θ_{1})^{j}

für

j = 2, 3, 4

ist irgendwie sinnlos, wenn danach nicht noch was kommt, wo diese

θ_{j}

einfließen...

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17:40 Uhr, 14.10.2021

Vielen Dank!

Ja es gibt noch zwei weitere Punkte, wo der Hinweis von Bedeutung ist.

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10:19 Uhr, 15.10.2021

Eine Frage habe ich doch noch: In der letzten Zeile steht ja

\frac{n}{2 n (n - 1)} \sum_{i = 1}^{n} (X i -

X̄)^2

+ \frac{n}{2 n (n - 1)} \sum_{i = 1}^{n} (X j -

X̄)^2

= \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X i -

X̄)^2

Wie verschwindet da die Summe

\sum_{i = 1}^{n} (X j -

X̄)^2, die Ist ja nicht 0 wegen dem Quadrat?

HAL9000

10:24 Uhr, 15.10.2021

Sie verschwindet nicht: Sie ist genauso groß wie die andere Summe (ob man den Summationsindex nun

i

oder

j

nennt, ist letztlich egal). Daher ist

\sum_{j = 1}^{n} {(X_{j} - \overline{X})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \overline{X})}^{2}

und damit dann

\frac{n}{2 n (n - 1)} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \overline{X})}^{2} + \frac{n}{2 n (n - 1)} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \overline{X})}^{2} = \frac{2 n}{2 n (n - 1)} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \overline{X})}^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \overline{X})}^{2}

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