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Zufallstichsprobe Varianz

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Zufallsvariablen

Tags: Zufallsvariablen

 
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TopProtet

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15:34 Uhr, 14.10.2021

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Sei X1,...,Xn eine Zufallsstichprobe und X̅ und S2 auf die übliche Art berechnet.
(a) Zeigen Sie, dass

S2=12n(n-1)i=1nj=1n(Xi-Xj)2

Nehmen Sie nun an, dass die Xis endliche vierte Momente besitzen und bezeichnen sie mit θ1 =EXi, θj =E(Xi- θ1)^j ,j=2,3,4

Ich habe zwar eine Lösung, würde diese jedoch gerne besser verstehen, vor allem den letzten Schritt wo die Summe von j einfach verschwindet. Vielleicht könnte mir jemand die Lösung Schritt für Schritt noch etwas näher bringen. Vielen Dank!


5.8
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

16:09 Uhr, 14.10.2021

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Doppelsummen der Struktur i=1kj=1naibj kann man wunderbar "trennen": Aus der inneren Summe kann man das von j unabhängige ai als Faktor herausziehen:

i=1kj=1naibj=i=1k(aij=1nbj)=i=1k(aiB)

mit der von i unabhängigen Summe B:=j=1nbj. Nun kann man auch noch dieses B aus der äußeren Summe rausziehen, d.h.,

=Bi=1kai.

Zusammenfassend gilt daher i=1kj=1naibj=(i=1kai)(j=1nbj), d.h., statt einer Doppelsumme mit insgesamt kn Summanden hat man nur noch zwei Summen mit den i.a. deutlich kleineren Summandenzahlen k und n, und diese beiden Summen muss man am Ende miteinander multiplizieren. (Etwas bei k=n=1000 macht das am Ende 2000 Additionen und 1 Multiplikation statt 1000000 Additionen und 1000000 Multiplikationen...)

Nichts anderes wird hier angewandt, und zwar auf k=n sowie ai=Xi-X und bj=Xj-X. Tja, und es ist nun mal j=1nbj=j=1n(Xj-X)=(j=1nXj)-nX=0 basierend auf der Mittelwertdefinition X:=1nj=1nXj.

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Nach dieser ja eher vorbereitenden Rechnung eine Frage:

Der Abschnitt mit den Festlegungen θ1:=EXi und θj:=E(Xi-θ1)j für j=2,3,4 ist irgendwie sinnlos, wenn danach nicht noch was kommt, wo diese θj einfließen...


Frage beantwortet
TopProtet

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17:40 Uhr, 14.10.2021

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Vielen Dank!

Ja es gibt noch zwei weitere Punkte, wo der Hinweis von Bedeutung ist.
TopProtet

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10:19 Uhr, 15.10.2021

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Eine Frage habe ich doch noch: In der letzten Zeile steht ja

n2n(n-1)i=1n(Xi- X̄)^2 +n2n(n-1)i=1n(Xj- X̄)^2

=1n-1i=1n(Xi- X̄)^2

Wie verschwindet da die Summe i=1n(Xj- X̄)^2, die Ist ja nicht 0 wegen dem Quadrat?
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

10:24 Uhr, 15.10.2021

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Sie verschwindet nicht: Sie ist genauso groß wie die andere Summe (ob man den Summationsindex nun i oder j nennt, ist letztlich egal). Daher ist j=1n(Xj-X)2=i=1n(Xi-X)2 und damit dann

n2n(n-1)i=1n(Xi-X)2+n2n(n-1)i=1n(Xi-X)2=2n2n(n-1)i=1n(Xi-X)2=1n-1i=1n(Xi-X)2 .