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Zulässige Suchrichtung für Gradientenverfahren

Universität / Fachhochschule

Tags: nichtlineare Optimierung

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15:48 Uhr, 19.07.2020

Ich habe die folgende Definition im Skript: Zulässige Suchrichtung:
Die Teilfolge

(s^{k})_{K}

der durch den allgemeinen Abstiegsverfahren erzeugten Suchrichtungen

(s^{k})

heiß zulässig, falls gilt:
(1).

\nabla f (x^{k})^{T} s^{k} < 0 \forall k \geq 0

(2).

(\frac{\nabla f (x^{k})^{T} s^{k}}{∥ s^{k} ∥})_{K} \to 0 \Rightarrow (\nabla f (x^{k}))_{K} \to 0

Ich werde den allgemeinen Abstiegsverfahren hier nicht aufschreiben, da es für meine Frage wohl nicht relevant ist. Nun führt das Skript aus:
"Der Ausdruck

\nabla f (x)^{T} s / ∥ s ∥

ist die Steigung der Funktion

f

im Punkt x in Richtung s. Die Bedingung besagt also: Konvergiert die Steigung von

f

in Richtung

s^{k}

auf der betrachteten Teilfolge gegen Null, so muss dies auch für die maximale Steigung

∥ \nabla f (x^{k}) ∥

gelten. Die Bedingung (2) kam daher als abstrakte Winkelbedingung interpretiert werden. Ist

s^{k}

eine Abstiegsrichtung, so gilt nämlich

\nabla f (x^{k})^{T} s^{k} < 0

und somit

\frac{∣ \nabla f (x^{k})^{T} s^{k} ∣}{∥ s^{k} ∥} = \frac{- \nabla f (x^{k})^{T} s^{k}}{∥ s^{k} ∥ ∥ \nabla f (x^{k}) ∥} ∥ \nabla f (x^{k}) ∥ = c o s ∠ (- \nabla f (x^{k}), s^{k}) ∥ \nabla f (x^{k}) ∥ .

Ist also mit

0 < η < 1

die Winkelbedingung

c o s ∠ (- \nabla f (x^{k}), s^{k}) = \frac{- \nabla f (x^{k})^{T} s^{k}}{∥ s^{k} ∥ ∥ \nabla f (x^{k}) ∥} \geq η

für alle

k \in K

erfüllt, dann folgt daraus unmittelbar, dass die Bedingung (2) gilt."
Ich kann diesen letzten Satz nicht nachvollziehen:"...dann folgt daraus unmittelbar, dass die Bedingung (2) gilt.". Wie folgt aus der Winkelbedingung, dass

(\nabla f (x^{k}))_{K} \to 0

.
So wie ich das verstehe, ist das ja so, dass wenn gilt:

(\frac{\nabla f (x^{k})^{T} s^{k}}{∥ s^{k} ∥})_{K} \to 0

und es gilt die Winkelbedingung

c o s ∠ (- \nabla f (x^{k}), s^{k}) \geq η > 0

, dann muss ja

∥ \nabla f (x^{k}) ∥ = 0

. Aber aus

∥ \nabla f (x^{k}) ∥ = 0

folgt ja nicht

\nabla f (x^{k}) \to 0

. Deshalb verstehe ich nicht, wie (2) automatisch wegen der Winkelbedingung gilt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

MathStudent aktiv_icon

17:21 Uhr, 19.07.2020

Ich denke, ich habe den Denkfehler raus. Wie schon gesagt, gilt, wenn die Winkelbedingung gelten sollte, dann gilt dann muss ja

∥ \nabla f (x^{k}) ∥ = 0

. Wegen Definitheit von Norm gilt, da

∥ \nabla f (x^{k}) ∥ = 0

gilt

\nabla f (x^{k}) = 0

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