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Zurückziehen von Differentialformen berechnen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Analysis, Differentialform, Differentiation, MATH, Mathematik

anonymous

19:20 Uhr, 08.02.2021

Hallo!

Sei

ω

auf

ℝ^{2} \ {0}

definiert durch:

ω_{(x, y)} = \frac{- y d x + x d y}{x^{2} + y^{2}}

und

P_{2}

die Polarkoordinatenabbildung

P_{2} : (0, \infty) \times ℝ \to ℝ^{2} \ {0}

mit

P_{2} (r, φ) = ((r cos (φ)), {(r sin (φ))}^{T}

Jetzt möchte ich

P_{2}^{⋆} ω

berechnen. Dabei treffe ich aber auf ein Problem, bei welchem ich nicht so weiter weiß...

Wenn ich jetzt

ω_{(P_{2} (x, y))}

berechnen möchte, stoße ich auf folgendes Problem:

Möglichkeit 1:

ω_{(P_{2} (x, y)) = ω_{(x cos (y), y sin (x))} = \frac{- y sin (x) d (x cos (y)) + x cos (y) d (y sin (x))}{{(x cos (y))}^{2} + {(y sin (x))}^{2}}}

Und jetzt ist

z . B . : d (x cos (y))

das totale Differential von

x cos (y)

. Oder:

Möglichkeit 2:

ω_{(P_{2} (x, y)) = ω_{(x cos (y), y sin (x))} = \frac{- y sin (x) d x + x cos (y) d y}{{(x cos (y))}^{2} + {(y sin (x))}^{2}}}

Und jetzt ist

z . B . : - y sin (x) d x

einfach

- y sin (x)

nach

x

abgeleitet.

Auf was bezieht sich also das d?

Danke und LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

01:15 Uhr, 09.02.2021

Hallo,
du hast

- y d x

ersetzt durch

- y \sin (x) d (x)

,
aber das ist falsch,
es muss

- r \sin (φ) d (r \cos (φ))

heißen ...
Übrigens: der Nenner ist

x^{2} + y^{2} = r^{2}

; dein Ziel ist es eine
Differentialform in

r, φ

zu bekommen, nicht in

x, y

.
Gruß ermanus

P.S.: zur Kontrolle:
Wenn ich mich nicht irre, kommt heraus:

F^{*} ω (r, φ) = d φ

anonymous

14:56 Uhr, 09.02.2021

Vielen Vielen Dank! Habe nun auch

d φ

raus Danke!

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