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Zusammenfassung einer E-Funktion

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, zusammenfassen

Anazoo aktiv_icon

19:53 Uhr, 24.08.2011

hallo,

also ich habe eigentlich eine recht einfache frage,

d . h

. mir würde ein nein bzw. im optimalfall ein ja reichen :-)

ich sollte die erste und zweite Ableitungen folgender Fkt berechnen:

f (x) = e^{1 - e^{x}}

die erste Ableitung hab ich gemacht

u

nun bin ich bei der zweiten Abl., da habe ich bis jetzt f´´(x)

= - e^{x} \cdot e^{1 - e^{x}} + (- e^{x}) \cdot - e^{x} \cdot e^{1 - e^{x}}

raus

und nun die alles entscheidende frage: darf ich das einfach zusammenziehen?

also, damit würde das ergebnis f´´(x)

= - e^{x} \cdot e^{1 - e^{x}}

sein, richtig?

und dann noch kurz ne verständnisfrage, wenn ich

f (x)

untersuchen soll für welche

x

element

R

die Fkt definiert ist, soll ich dann die Nullstellen berechnen?

vielen dank euch

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DmitriJakov aktiv_icon

20:02 Uhr, 24.08.2011

Du kannst durch Ausklammern ein wenig zusammenfassen, aber nicht so, wie Du es gemacht hast.

CKims aktiv_icon

20:03 Uhr, 24.08.2011

ich weiss nicht wie du das zusammengefasst hast... aber das ergebnis ist falsch...

du musst

- e^{x} e^{1 - e^{x}}

ausklammern

ansonsten kleiner tip:

wenn du bei

f' (x) = - e^{x} e^{1 - e^{x}}

das zusammenfasst zu

- e^{x + 1 - e^{x}}

ist die zweite ableitung ein wenig einfacher

lg

Anazoo aktiv_icon

20:08 Uhr, 24.08.2011

vielen dank! das ist wirklich ein super Tipp, hab ich gar nicht gesehen...:-)

hast du vielleicht auch ne antwort auf meine andere frage...?

CKims aktiv_icon

20:12 Uhr, 24.08.2011

"und dann noch kurz ne verständnisfrage, wenn ich

f (x)

untersuchen soll für welche

x

element

R

die Fkt definiert ist, soll ich dann die Nullstellen berechnen? "

nein, du musst dir hier ueberlegen, welche zahlen du fuer

x

einsetzen darfst, so dass die formel auch ein ergebnis liefert...

Anazoo aktiv_icon

20:17 Uhr, 24.08.2011

na, spontan würde ich meinen für alles außer Null...da

e^{x} > 0 . .

.
aber das würde ja bestimmt nicht ausreichen, haste vielleicht einen kleinen Tipp wie ich das ordentlich untersuchen kann? oder soll ich ne ungleich erstellen?

0 < e^{1 - e^{x}}

..mh, aber das könnte ich ja nicht umstellen, also ist die Idee vermutlich mist, richtig..?

CKims aktiv_icon

20:22 Uhr, 24.08.2011

du denkst viel zu viel ;-)

man kann auch null einsetzen

f (0) = e^{1 - e^{0}} = e^{1 - 1} = e^{0} = 1

es reicht voellig aus, wenn du einfach darueber nachdenktst, ob es irgendwelche besonderen stellen gibt. da man bei

e^{x}

alles einsetzen darf, gibt es keine besonderen stellen... man darf also alles fuer

x

einsetzen (genauer hier alle zahlen aus

ℝ)

Anazoo aktiv_icon

22:16 Uhr, 24.08.2011

hab vielen dank :-)

und wie wäre es bei folgender aufgabe:

Ich soll bestimmen welche

x

element

R

der Gleichung genügen.

ln (\frac{1}{2} (e^{x + 3 + ln 2} - 1)) = \frac{1}{2} ln (e^{10} - e^{5} + \frac{1}{4})

so jetzt folgt meine idee:

ln (\frac{1}{2} (e^{x} \cdot e^{3} \cdot e^{ln 2} - 1) = - = -

ln (\frac{1}{2} (e^{x} \cdot e^{3} \cdot 2 - 1) = - = -

ln (\frac{1}{2} (e^{x} \cdot e^{3} \cdot 1) = - = -

ist das richtig? kann die 1 weg? wenn ich mit

\frac{1}{2}

multiplizieren ergibt sich ja nen anderer sinn...oder soll ich erst mit

\frac{1}{2}

multiplizieren? den

ln

kann ich nicht als nächsten schritt ziehen, richtig? das geht erst nach dem ich ausmultipliziert habe, ne?

CKims aktiv_icon

22:32 Uhr, 24.08.2011

punkt vor strich rechnen... deshalb darfst du nicht

2 - 1

rechnen...

sonst ok...

versuch erstmal das

ln

wegzubekommen...

verwende dafuer die regel

a ln (b) = ln (b^{a})

Anazoo aktiv_icon

22:37 Uhr, 24.08.2011

ach ja, die ganz einfache mathematik :-) macht natürlich sinn...^^

ähm, die regel kann ich doch nur auf der "rechten" seite anwenden..oder nicht?

\frac{1}{2}

steht doch in der klammer..

CKims aktiv_icon

22:38 Uhr, 24.08.2011

genau

Anazoo aktiv_icon

22:40 Uhr, 24.08.2011

na, aber ist das nicht sinnvoller ersteinmal die "linke" seite umzustellen...?

CKims aktiv_icon

22:41 Uhr, 24.08.2011

hast du doch schon... bis auf die

2 - 1

war ja alles richtig... jetzt das

ln

wegbekommen

Anazoo aktiv_icon

22:50 Uhr, 24.08.2011

ok, dachte man kann

ln (\frac{1}{2} (e^{x} \cdot e^{3} \cdot 2 - 1)

noch weiter vereinfachen...

also, dann habe ich auf der andren seite

ln (e^{5} - e^{2,5} + \frac{1}{8})

und nun bin ich etwas ideenlos..
einfach ausrechnen kann ich das ja nicht...

CKims aktiv_icon

22:57 Uhr, 24.08.2011

da haperts noch an den grundlagen

. .

ln (\frac{1}{2} (e^{x} e^{3} 2 - 1)) = \frac{1}{2} ln (e^{10} - e^{5} + \frac{1}{4})

ln (\frac{1}{2} (e^{x} e^{3} 2 - 1)) = ln ({(e^{10} - e^{5} + \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}})

hier darfst du nicht die hoch

\frac{1}{2}

auf die einzelnen terme in der klammer aufteilen!! sonst wuerde ja auch der satz des pythagoras nicht

x^{2} + y^{2} = c^{2}

lauten sondern viel einfacher

{(x + y)}^{2} = c^{2}

x + y = c

;-) aber egal... jetzt auf beiden seiten

e

hoch nehmen das loest den

ln

auf

e^{ln (\frac{1}{2} (e^{x} e^{3} 2 - 1))} = e^{ln ({(e^{10} - e^{5} + \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}})}

weil

e

hoch umkehrfunktion zum

ln

ist und es bleibt uebrig

\frac{1}{2} (e^{x} e^{3} 2 - 1) = {(e^{10} - e^{5} + \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}}

und jetzt du...

Anazoo aktiv_icon

17:48 Uhr, 25.08.2011

danke MokLok, du hast mir wirklich sehr geholfen! :-) wir haben das Thema erst gestern begonnen, daher fehlen mir tatsächlich noch einige grundlagen...

ich bin heut beim vergleichen auf einige unstimmigkeiten gestoßen...könnte mir vielleicht jemand sagen, was nun richtg ist...wir waren uns da nicht ganz sicher..

also es geht um die 2. Ableitung. f´(x)

= - e^{x + 1 - e^{x}}

nun die 2. Abl.: f´´(x) = lne

\cdot - e^{x + 1 - e^{x}} \cdot

hier kommt das Problem

also entweder

(1 -

lne

\cdot e^{x} \cdot 1) = 1 - e^{x}

oder

(1 +

lne

\cdot (- e^{x}) \cdot 1) = 1 - e^{x}

oder

(1 -

lne

\cdot (- e^{x}) \cdot 1) = 1 + e^{x}

Danke fürs helfen :-)

DmitriJakov aktiv_icon

18:13 Uhr, 25.08.2011

Also ich kann Deinem Gedankengang gerade nicht folgen und habe jetzt auch nicht den ganzen thread durchgelesen. Aber wenn Du hast:

f' (x) = - e^{x + 1 - e^{x}}

wieso taucht dann bei der 2. Ableitung der

ln

auf?

f'' (x) = - e^{x + 1 - e^{x}} \cdot (1 - e^{x})

Anazoo aktiv_icon

18:17 Uhr, 25.08.2011

das lne gehört zur ableitung vom

e . .

.

also

z . B

. wenn du

e^{5 x}

ableiten willst, dann heist das ausgeschrieben:

lne

\cdot e^{5 x} \cdot 5 \to 5 e^{5 x} .

DmitriJakov aktiv_icon

18:42 Uhr, 25.08.2011

ok, jetzt habe ich mir doch den ganzen thread durchgelesen. Ich habe schon befürchtet, dass Du da etwas bei MokLok falsch verstanden hättest.

Du hast doch gestern die Ableitung recht gut hinbekommen. Nur mit dem Zusammenfassen hattest Du etwas Probleme. Wenn Du also die e-Funktion ableitest, dann kommt wieder die e-Funktion heraus. Der

ln

hat hier in diesem Fall keinen Platz.

Wenn also

f' (x) = - e^{x + 1 - e^{x}}

ist, dann lautet die 2. Ableitung:

f'' (x) = - e^{x + 1 - e^{x}} \cdot (1 - e^{x})

Anazoo aktiv_icon

18:56 Uhr, 25.08.2011

mh...aber ich mach das immer so...mir wurde das so beigebracht und seitdem mache ich das so..und f´(x) hab ich ja auch so berechnen können..das lne verschwindet doch dann wieder, ist doch nichts anders als

1 . .

. verstehe bitte, dass mich das jetzt verwirrt..ich mein, ich hab das jahrelang so gemacht und meine mathelehrerin hat das auch immer so gerechnet...

nun gut...

aber kannst du mir vielleicht da weiterhelfen wo MokLok aufgehört hat?

ich hab das jetzt weiterberechnet:

\frac{1}{2} (e^{x} \cdot e^{3} \cdot 2 - 1) = {(e^{10} - e^{5} + \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}}

\frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{e^{3}}{2} - \frac{1}{2} = - = - \cdot 2

e^{x} \cdot e^{3} - 1 = {(e^{10} - e^{5} + \frac{1}{4})}^{1}

e^{x + 3} - 1 = e^{10} - e^{5} + \frac{1}{4} / + 1

e^{x + 3} = e^{10} - e^{5} + \frac{1}{4} + 1

x + 3 = 10 - 5 + ln (\frac{1}{4}) + ln (1)

x = 2 + ln (\frac{1}{4})

aber das haut nicht hin, da muss

x = 2

rauskommen...was mache ich falsch?

DmitriJakov aktiv_icon

19:09 Uhr, 25.08.2011

Nun, wenn Du es so gelernt hast die Ableitung mit Eins (also

ln (e))

zu Multiplizieren, dann ist das in Ordnung. Ich verstehe zwar nicht warum man Dir das so beigebracht hat, aber das ist nicht das Thema.

In Deiner Umformung von gerade eben hast Du auf der linken Seite einen Fehler gemacht. In der Klammer stehen zwei Summanden. Einer lautet

e^{x} \cdot e^{3} \cdot 2

und der andere lautet 1. Beide müssen nun mit

\frac{1}{2}

multipliziert werden:

\frac{e^{x} \cdot e^{3} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}

Du kannst nun im ersten Summanden die Zwei kürzen:

e^{x} \cdot e^{3} - \frac{1}{2}

Auf der rechten Seite hast Du auch gewütet :-)
Du hast beide Seiten mit 2 multipliziert und so den exponenten

\frac{1}{2}

versucht auf den Wert Eins zu bringen. Das funktioniert so nicht. Du müsstest dafür beide Seiten quadrieren.

Und im weiteren Verlauf hast Du logarithmiert. ABER: Wenn Du auf beiden Seiten logarithmierst, dann gilt der für die gesamte Seite. Steht dort eine Summe, dann hast Du meistens eine Sackgasse erreicht.

Denn

ln (e^{10} - e^{5} + \frac{1}{4} + 1) \neq ln (e^{10}) - ln (e^{5}) + ln (\frac{1}{4}) + ln (1)

Anazoo aktiv_icon

19:13 Uhr, 25.08.2011

ok, gut. machs nochmal neu. schick hoffentlich innerhalb der nächsten

20 min

mein ergebnis..also bitte nicht weggehen ;-)

und danke natürlich!

Anazoo aktiv_icon

19:36 Uhr, 25.08.2011

also im ernst, du hast meine einzige idee zunichte gemacht..:-)

der rest sieht ganz schön nach verzweiflungstat aus..

wenn ich jetzt bei dir anknüpfe und alles mit 2 multipliziere, dann erhalte ich

2 (e^{x - 3} - \frac{1}{2}) = 2 {(e^{10} - e^{5} + \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}}

und dann kann ich doch

2 \cdot \frac{1}{2}

rechnen und dann hab ich da meine 1 im exponenten, oder?

also für den fall, dass das richtig ist, dividiere ich dann durch 2

e^{x - 3} - \frac{1}{2} = \frac{e^{10} - e^{5} + \frac{1}{4}}{2}

ist das richtig? meine restliche rechnung behalt ich mal lieber für mich, dass scheint mir selbst etwas suspekt ;-)

DmitriJakov aktiv_icon

19:49 Uhr, 25.08.2011

Also auf der rechten Seite steht ja eigentlich eine Wurzel. Denn der Exponent

\frac{1}{2}

bedeutet ja nichts anderes als "Wurzel aus". Und

2 \cdot \sqrt{5}

ergibt ja auch nicht wirklich

5,

oder? ;-)

Versuche auf der rechten Seite mal folgendes: ersetze

e^{5}

durch

u

. Dann wird aus

e^{10}

ein

u^{2}

und aus

e^{5}

wird

u

das Ergebnis ist:

\sqrt{u^{2} - u + \frac{1}{4}}

Klingelt da was bei Dir?

Anazoo aktiv_icon

19:59 Uhr, 25.08.2011

na, ich würd dann jetzt ma ganz spontan die p-q-Formel verwenden wollen..:-)

mh, und dann hab ich

\frac{e^{5}}{2} \frac{+}{-}

Wurzel aus

{(\frac{e^{5}}{2})}^{2} - \frac{1}{4}

ja, und an dieser stelle verstummt das klingeln...ich sehe nicht so recht wo das hinführen soll..dann hab ich da nachher zwei x-werte und dann...

DmitriJakov aktiv_icon

20:12 Uhr, 25.08.2011

Nun, wenn Du die pq-Formel auf

u^{2} - u + \frac{1}{4}

anwenden möchtest, dann ist doch

p = - 1

und

q = \frac{1}{4}

u_{1; 2} = - (- \frac{1}{2}) \pm \sqrt{{(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}}

u_{1; 2} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{4}} = \frac{1}{2}

Die Nullstellen von

u^{2} - u + \frac{1}{2}

liegen also beide bei

\frac{1}{2},

also gilt:

u^{2} - u + \frac{1}{4} = (u - \frac{1}{2}) (u - \frac{1}{2}) = {(u - \frac{1}{2})}^{2}

Du hättest das aber auch so sehen können ohne die pq-Formel zu bemühen.

Also ist jetzt Deine rechte Seite

\sqrt{{(u - \frac{1}{2})}^{2}} = u - \frac{1}{2}

Und wenn Du nun wieder zurücksubstituierst:

u = e^{5}

wird Deine Gleichung zu:

e^{x} \cdot e^{3} - \frac{1}{2} = e^{5} - \frac{1}{2}

Und jetzt noch die letzten Schritte: Du addierst auf beiden Seiten

\frac{1}{2}

e^{x} \cdot e^{3} = e^{5} | \div e^{3}

e^{x} = e^{2}

Durch den Vergleich der Exponenten könnte man jetzt eigenlich schon Schluss machen, aber logarithmieren wir noch beide Seiten:

ln (e^{x}) = ln (e^{2})

x = 2

Fertig :-D)

Anazoo aktiv_icon

20:18 Uhr, 25.08.2011

da wäre ich im leben nicht drauf gekommen!!!

hab vielen vielen dank für deine tolle und geduldige hilfe :-)

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