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Zusammengesetzte Nullhypothese (Signifikanztest)

Schüler

Tags: Hypothesentest, Stochastik

Sabine2 aktiv_icon

21:47 Uhr, 06.01.2013

Hallo,

Ich habe folgendes gefunden:
"Bei einem einseitigen Test ist die Verteilung, bei der

H_{0}

zutrifft, nicht mehr eindeutig. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art bei gleichbleibendem Ablehnungsbereich ist aber sowohl bei

H_{0} : p \geq p_{0}

als auch bei

H_{0} : p \leq p_{0}

für

p = p_{0}

am größten. Deshalb versteht man bei einem einseitigen Signifikanztest unter der Irrtumswahrscheinlichkeit diese maximale Wahrschinlichkeit."

Fragen dazu:
Das Problem ist mir denke ich bewusst. Ich habe eine zusammengesetzte Nullhypothese, die Frage ist nun, mit welchem

p

ich rechnen soll. Wenn

H_{0} : p \leq p_{0},

dann liegt die Wahrscheinlichkeit

p,

dass

H_{0}

zutrifft, zwischen 0 und

p_{0}

. Für die weiteren Rechnungen brauche ich aber einen konkreten Wert für

p

.
Laut dem Gefundenen soll ich immer mit

p_{0}

rechnen. (Sowohl bei rechtsseitige und auch linksseitige Tests). Aber wieso? Der Text gibt über das "wieso" keinen aufschluss. Dass man dieses

p

so bestimmen möchte, dass die Irrtumswahrscheinlichkeit (=Fehler 1. Art?!) am größten ist, ist klar. Worst case quasi.

Sabine

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Hypothesentest

Sabine2 aktiv_icon

22:21 Uhr, 07.01.2013

Ist meine Fragestellung unklar? Dann sagt Bescheid ;-)

Sabine2 aktiv_icon

19:54 Uhr, 08.01.2013

Bitte helft mir

: (

Matlog aktiv_icon

17:39 Uhr, 09.01.2013

Ich bin mir nicht sicher, ob ich Dein Problem richtig verstehe.

Ich versuche einfach, die Lage zu verdeutlichen:

Fall

1 : H_{0} : p \leq p_{0}

Man rechnet hier mit

p = p_{0}, d . h

. man lehnt bei Werten oberhalb einer Zahl

k_{1}

ab, welche so bestimmt ist, dass der Fehler 1. Art geradeso unter dem vorgegebenen Niveau liegt.
Sollte

p

in Wirklichkeit unterhalb von

p_{0}

liegen, dann ist der Fehler 1. Art auf jeden Fall noch kleiner.

Fall

2 : H_{0} : p \geq p_{0}

Jetzt verläuft alles genau spiegelbildlich:
Man rechnet wieder mit

p = p_{0}

und lehnt bei Werten unterhalb einer Zahl

k_{2}

ab, die den Fehler 1. Art unter dem geforderten Niveau hält.
Wenn das wahre

p

aber größer sein sollte, dann wird der Fehler 1. Art dadurch wieder kleiner.

Sabine2 aktiv_icon

06:58 Uhr, 10.01.2013

Ja, die Frage hast du richtig verstanden. Mir geht es aber noch um eine Begründung deiner jeweils letzten Säte. Wieso ist für

p \neq p_{0}

der Fehler 1. Art jeweils kleiner?

Matlog aktiv_icon

14:30 Uhr, 10.01.2013

Einen mathematisch exakten Beweis stelle ich mir recht schwierig vor.

Vielleicht hilft aber das folgende Bild:
Im Fall 1 stelle ich mir mit

p = p_{0}

eine Normalverteilung oder Binomialverteilung in Glockenform vor mit einer Grenze

k_{1},

wo rechts davon ein kleiner Prozentsatz

(z . B

5 %)

liegt.
Wenn ich nun

p

etwas verkleinere, dann verschiebt sich die Kurve etwas nach links, ohne die Form grundlegend zu ändern.
Für mich ist anschaulich klar, dass dann rechts von der (unveränderten) Grenze

k_{1}

die Fläche etwas kleiner wird.

Sabine2 aktiv_icon

19:34 Uhr, 10.01.2013

Diese Art Erklärung ist völlig ausreichend, jetzt kann ich mir das gut vorstellen! Ich kann mir genauso gut ein

k

vorstellen, von dem links dieser kleiner Prozentsatz liegt, oder? Diese

5 %

werden doch aber beim Verschieben größer. (Verschieben nach links)

Beim zweiten Fall wird das Schaubild nach rechts verschoben. Da werden die

5 %

links von

k

kleiner und die

5 %

rechts von

k

größer.
Also irgendwie haut das in meinem Kopf doch noch nicht so hin.

In jedem Fall scheint es zwei Fälle zu geben, die sich aber irgendwie zu wiedersprechen scheinen.

Matlog aktiv_icon

20:49 Uhr, 10.01.2013

Der Witz ist, dass die Fälle, die Dir Probleme zu bereiten scheinen, gar nicht existieren.

Bei

H_{0} : p \leq p_{0}

wird man doch nur bei zu großen Ergebnissen ablehnen. Die Vorstellung von

5 %

am linken Rand macht keinen Sinn!
Entsprechend lehnt man bei

H_{0} : p \geq p_{0}

nur bei zu kleinen Werten diese Hypothese ab.

Sabine2 aktiv_icon

21:14 Uhr, 10.01.2013

Die Frage ist wahrscheinlich ziemlich blöd, aber wieso wird man

H_{0} : p \leq p_{0}

nur bei zu großen Werten ablehnen?

Matlog aktiv_icon

22:06 Uhr, 10.01.2013

Es gibt keine blöden Fragen!!!

Nehmen wir an, die Testgröße

X

wäre binomialverteilt.
Die Nullhypothese

p \leq 0,4

kann man dann doch nur für große Trefferzahlen

X

ablehnen (weil dies bei kleinem

p

unwahrscheinlich ist). Eine kleine Trefferzahl bestätigt doch gerade diese Nullhypothese.

Sabine2 aktiv_icon

22:14 Uhr, 10.01.2013

und wenn

p \leq 0,8

? Das Ding ist ja, dass wenn ich

p

drinne habe, in der Bernoulliforml ja auch immer

1 - p

mit drinnsteckt.

Matlog aktiv_icon

22:36 Uhr, 10.01.2013

Die Hypothese

p \leq 0,8

beinhaltet doch auch alle kleinen

p

. Kleine Trefferzahlen

X

widersprechen dieser Hypothese nicht. Nur extrem große Trefferzahlen könnten zur Ablehnung führen.
Vielleicht willst Du dann

p \leq 0,9

testen. Eine solche Hypothese wird sich aber nur sehr schwer ablehnen lassen, vielleicht geht das überhaupt nicht.

Sabine2 aktiv_icon

13:29 Uhr, 12.01.2013

Wenn ich sagen würde, ich hätte es 100%ig verstanden, würde ich lügen. Ich habe es aber auf jeden Fall besser verstanden, dennoch bin ich nocht nicht ganz zufrieden mit diesem Thema..

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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