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Zusammenhang Basen und primitives Element
Universität / Fachhochschule
Körper
Tags: Körper
 
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Hallo allerseits, ich hätte eine Verständnisfrage zum Zusammenhang zwischen der Existenz eines Primitiven Elements zu einer KE L/K, ihrem Grad einer Körpererweiterung und der Basis von L als K-VR. Dafür folgendes Beispiel: Sei für den Grad von L / Q gilt mit Gradformel Nach dem Satz vom primitiven Element muss es ein \alpha geben, sodass Dieses wird bei uns im Skript berechnet als wobei Nun geht es mir eigentlich nicht darum, wie man auf das Element kommt, sonder eher, welchen Grad das Min.Pol, dieses Elements über Q hat? Dieser müsste doch 8 sein, oder ? Die andere (eigentlich wichtigere) Frage wäre nun, wie eine Q- Basis von aussieht? Meine Idee dazu war, das ganze auf einfache Körpererweiterungen herunterzubrechen, also zunächst eine Q - Basis von Q(i) zu betrachten, das wäre dann {1,i} und dann eine Q(i) Basis für das wäre dann nach meine Verständnis Aber auch wenn ich die beiden Basen vereinige, komme ich nicht auf 8 Elemente, wo liegt mein Denkfehler? LG Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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"Aber auch wenn ich die beiden Basen vereinige" Wie willst du denn Mengen vereinigen, die in unterschiedlichen Räumen liegen? :-O Deine Idee ist leider verkehrt. Zumindest in dieser Ausführung. Übrigens, ist natürlich keine Basis von über , denn wie willst du in dieser Basis hinkriegen? Richtig wäre z.B. . Eine Basis von über ist dann z.B. . Du kannst selbst überlegen, wie man sie in einem 2-stufigen Prozess ähnlich von dir angedachtem zusammen bekommt. |
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Hallo, danke für deine hilfreiche Antwort! Ja , das macht natürlich keinen Sinn! Mir ist im Moment der Beweis der Gradformel in den Sinn gekommen, dort berechnen wir ja eine Basis von M als K-VR wenn wir Basen von L als K-Vr und M als L-VR gegeben haben, indem wir die möglichen Produkte betrachten, das heißt ich erhalte im vorliegenden Fall eine Basis, wenn ich alle möglichen Produkte der Elemente aus und berechne, und das sind genau die von dir genannten 8 Stück! War meine Aussage zum Minimalpolynom denn dann korrekt? |
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Ja, Satz 7.9 hier: http://math-www.uni-paderborn.de/~chris/Index33/V/par7.pdf |
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Super, ich danke dir :-) LG |
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