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Zusammenhang Eigenwert Untervektorraum

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Vektorräume

Tags: Eigenwert, Matrix, Vektorraum

trinktrink aktiv_icon

18:45 Uhr, 23.01.2018

Schönen Abend,
ich soll folgendes zeigen:

Sei A eine

n x n

Matrix und

λ

ein Eigenwert von A. Zeigen Sie, dass die Menge

V_{λ} = (v \in ℝ^{n} : A v = λ v)

ein Untervektorraum des

ℝ^{n}

ist.

Ich hab wirklich keine Ahnung wie ich das beweise soll. Bitte um Hilfe (und Lösung)
lg
Patrick

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

michaL aktiv_icon

19:26 Uhr, 23.01.2018

Hallo,

die Aufgabe liegt schon in der Nähe von trivial!

Schreib doch hier erst einmal auf, welche Axiome einen Untervektorraum definieren.
Dann sehen wir weiter.

Mfg Michael

trinktrink aktiv_icon

19:34 Uhr, 23.01.2018

Ja die axiome die für einen unterraum gelten müssen sind:
- Vektoraddition
- Skalarmultiplikation
- enthalten des Nullvektors

aber ich weiss leider nicht wie ich es mathematisch beweisen soll. dass es ein unterraum ist, ist trivial das stimmt, doch ich weiss nicht wie genau der beweis aussehen soll.

ledum aktiv_icon

19:53 Uhr, 23.01.2018

Hallo
dann nimm eben 2 vektoren aus der Def und addiere sie . gehören sie wieder zu

v

dann

r \cdot v

liegt es wieder in V? liegt

0 \in V

du musst es doch nur in die Def von

V

einsetzen.
Gruß ledum

trinktrink aktiv_icon

20:12 Uhr, 23.01.2018

angenommen ich habe für

λ = 2

als EW und nehmen den VR

ℝ^{3} :

v_{1} = (1,1,1) \cdot λ = (2,2,2)

v_{2} (1,2,3) \cdot λ = (2,4,6)

v_{1} + v_{2} = (4,6,8) = (2,3,4) \cdot λ

und somit in

ℝ^{3}

Dasselbe auch für die Multiplikation eines skalars.
Aber dann hätt ich es ja nur für einen speziellen fall bewiesen und nicht allgemein oder?

michaL aktiv_icon

20:17 Uhr, 23.01.2018

Hallo,

nein, so geht es nicht.
Bringe Struktur hinein!

Sei

λ

also ein Eigenwert von

A

und

u, v \in V_{λ}

.

Schreibe mal auf, was

u, v \in V_{λ}

bedeutet!

Mfg Michael

trinktrink aktiv_icon

20:49 Uhr, 23.01.2018

Gut,
aus der mir vorliegenden Theorie weiss ich folgendes:

f (v) = λ \cdot v \to

Eigenwert*Eigenvektor
In einem endlichdimensionalen Vektorraum kann jeder Endomorphismus durch eine quadratische Matrix beschrieben werden was dazu führt, dass

A \cdot x = λ \cdot x \to

In diesem Falle wäre

x

der Eigenvektor und

λ

der Eigenwert.

Mann kann es auch als

(A - λ \cdot I) \cdot x = 0

schreiben, wobei I die Einheitsmatrix ist.

- - -

Nehme ich jetzt

u,

und

v

als Vektoren her die per Annahme in

ℝ^{n}

liegen, dann gilt:

u = λ \cdot x

wobei

x

wiederum der EV ist und

λ

der EW.

v = λ \cdot y

wobei

y

wiederum der EV ist und

λ

der EW.

aber jetzt bin ich mit meinem Latein wohl am Ende. Das Beispiel ist trivial aber ich weiss nicht wie ich es beiweise. Ich wäre für den Beweis durchaus dankbar.

michaL aktiv_icon

21:08 Uhr, 23.01.2018

Hallo,

hm, viel Richtiges, aber konkret irgendwie nicht so gut brauchbar.

u, v \in V_{λ}

heißt nichts anderes, als dass

u

und

v

Eigenvektoren von

A

zum Eigenwert

λ

sein sollen.
Jetzt musst du dir überlegen, was das mathematisch heißt!

Und daraus musst du letztlich ableiten, dass sowohl

u + v \in V_{λ}

als auch für beliebige

k \in ℝ

k v \in V_{λ}

gelten.

Mfg Michael

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