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Zusammenhang Nullteiler, Einheit
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Körper
Ringe
Tags: Gruppen, Körper, Ring
 
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Hallo zusammen Ich verstehe den Zusammenhang zwischen Nullteilern und Einheiten nicht ganz. Ein Element a ist Nullteiler, falls es ein Element gibt, sodass beide ungleich 0 und ab=0. In Zm sind also alle nicht zu teilerfremden Zahlen Nullteiler. Ich habe somit Nullteiler (da 0 kein Nullteiler ist). Ich habe in Zm gerade aber auch Einheiten, denn alle teilerfremden Zahlen sind invertierbar. In Zm ist also jeder Nicht-Nullteiler eine Einheit? Wo gilt denn das nicht? Was ist entscheidend, dass in Zm diese Verbindung existiert? Vielen Dank |
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anders formuliert: Ein Koerper ist immer ein Integritaetsbereich, doch welche Bedingung muss herrschen, dass ein Integritaetsbereich auch ein Koerper ist? (laut Defintion muessten ja dann einfach alle Nicht-Nullteiler auch invertierbar sein, doch wann ist dies der Fall?) |
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Hallo, nein, nicht alle Nichtnullteiler sind Einheiten. Die Null eben nicht. Zu deiner Frage, welche Bedingung aus einem Integritätsbereich einen Körper macht: Nicht so einfach. Ist der Integritätsbereich z.b. endlich, ist er automatisch ein Körper. Für einen beliebigen Körper ist der zugehörige Polynomring i.a. kein Körper, wohl aber ein Integritätsbereich. Mfg MIchael |
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In Zm und somit allen endlichen Ringen gilt aber, dass jeder Nicht-Nullteiler ausser 0 invertierbar ist, oder? Hmm, ich weiss nicht, hauptsaechlich haben wir mit endlichen Ringen etc gearbeitet. Also ist wirklich jeder endliche Integritaetsbereich ein Koerper? Integritaetsbereich und endlich Koerper? Das sollte hoffentlich vorerst genuegen.. Vielen Dank.. |
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Also kann ich auch wenn es um Polynomringe ueber Koerper geht, gerade sagen, ob ein Element Nullteiler ist, indem ich schaue, ob der ggT=1 ist. Wenn der ggT=1 ist, ist das Polynom direkt auch invertierbar? Ich habe ein kleines Durcheinander, tut mir leid.. |
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Hallo, zu 1: Ja, jeder endliche Integritätsbereich ist ein Körper. zu 2: Der Polynomring über JEDEM Körper ist nullteilerfrei (insbesondere also ein Integritätsbereich). Mfg Michael EDIT: Die einzigen Polynome, die über dem Polynomring eines Körpers invertierbar sind, sind die vom Grade Null. Das Nullpolynom natürlich ausgenommen. |
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Zu 1 danke.. Zu 2. Ich meinte natuerlich Polynomringe ueber Ringe. Dann kann es ja Nullteiler geben. Denn Polynome ueber einem Ring ist wieder ein Ring, und Polynome ueber einem Integritaetsbereich wieder ein IB. Aber ein Polynom ueber einem Koerper ist kein Koerper sondern nur ein IB, oder? Wie du vorhin gesagt hast. Denn invertieren kann ich nicht.. Wenn ich also einen endlichen Koerper nehme und die Polynome darueber, habe ich einen endlichen Integrietatsbereich, der kein Koerper ist? |
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Hallo, wieso sollte der Polynomring über einem endlichen Körper selbst endlich sein? , , , , , , ... Mfg Michael |
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Oh, stimmt.. Also wenn ich einen Ring habe, einen Koerper und einen Integritaetsbereich dann sind und Rm und Ringe, und Integritaetsbreiche und und Rp prim) und und (wobei hier irreduzibel ist) Koerper. endlich sind nur diese ohne oder diese mit . Stimmt das so? ich hoffe, es ist einigermassen verstaendlich, was ich meine. |
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Was heißt denn hierbei RM und ? |
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Hallo, vermutlich geht es um Lokalisierungen nach Hauptidealen, die z.b. von erzeugt werden. Allerdings wäre ich auch an der Originalaufgabenstellung interessiert. Macht die Sache doch einfacher. Mfg Michael |
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es gibt keine Fragestellung, war nur ne allgemeine Frage.. Mit meinte ich die Polynome über einem Integritätsbereich D. (die Darstellung ist schlecht, sorry) sollte dieser Integritätsbereich modulo ein Polynom bezeichnen. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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