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Zusammenhang euklidischer Norm und Maximumnorm

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis, Norm, Normen äquivalent

Siggi91 aktiv_icon

17:04 Uhr, 23.04.2012

Hallo ihr lieben,
ich fange gerade damit an Analysis II zu studieren und verstehe den Zusammenhang zwischen der euklidschen Norm und der Maximumsnorm nicht.
Kann mir dies vlt. jemand erklären?

Des Weiteren soll ich einen Beweis führen...

∥ x ∥_{2} \leq \sqrt{n} ∥ x ∥_{inf}

für alle

x \in ℝ

Wie führt man einen solchen Beweis?

liebe Grüße,
Siggi

PS: Gibt es eigentlich einen Latex-Befehl für die Norm?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

17:40 Uhr, 23.04.2012

Wenn

{| | x | |}_{\infty} = c,

dann

| x_{i} | \leq c

für alle Indizes

i

.
Wie groß kann

{| | x | |}_{2} = \sqrt{x_{1}^{2} + ... + x_{n}^{2}}

maximal werden, wenn jedes einzelne

x_{i}

betragsmäßig höchstens

c

ist?

Siggi91 aktiv_icon

18:03 Uhr, 23.04.2012

Natürlich c, aber reicht folgender beweis denn schon aus?

∥ x ∥_{2} = \sqrt{(} x_{1} + . . . + x_{n}) \leq \sqrt{(} n * x_{m a x}^{2}) = \sqrt{(} n) ∥ x ∥_{inf}

für alle

x \in ℝ

hagman aktiv_icon

22:07 Uhr, 23.04.2012

Findest du denn, dass etwas fehlt?

Siggi91 aktiv_icon

12:56 Uhr, 24.04.2012

nunja, ich fühle mich bei Beweisen immer etwas unsicher.

Nun soll ich noch etwas über das konvergenzverhalten der euklidschen Norm sagen.
Kann ich da einfach sagen das der limes im unendlichen gegen

\sqrt{(} n * x_{m a x}^{2})

strebt ud der limes gegen 0 nach

x_{m a x}

?

liebe Grüße

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