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Zusammenhang phi injektiv/kerphi=e
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppenhomomorphismus
 
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Hey, kann mir jemand bei dieser Äquivalenz weiterhelfen: sei ein Gruppenhomomorphismus ist injektiv genau dann, wenn ker(phi)=neutrales Element (von ) Die Richtung von injektiv ker(phi)=neutrales Element, scheint einleuchtend zu sein, da ja gerade Injektivität verlangt, dass zu jedem Element aus nur ein Element aus zugeordnet werden darf. Aber die Rückrichtung? Grüße Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Sei daraus folgt folgt folgt der kern enthaelt nur e folgt x=y Also ist injektiv |
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Vielen Dank! Gibt es für die andere Richtung auch so einen schönen Beweis? Ich habe mir es "nur" so überlegt und das scheint klar zu sein, aber habe dazu keinen richtigen Beweis?! Grüße |
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Na ja die andere Richtung ist nicht besonders spektakulaer x im Kern von folgt folgt folgt weil phi Injektiv ist x=e Das ist der eigenentliche Beweise --------------------------------------- Ab hier noch ein bischen Hintergrund Informationen Wenn du so willst gehoert da noch der beweis dazu dass also fuer jedes element y aus dem Bild von gibt es ein x so dass Dann gilt Also ist das Neutrale Element der Gruppe des Bild raumes. Dazu mal kurz ein Beispiel Du hast die matrix ab0 cd0 00e X steht da bei jeweis fuer einen Eintrag Und bildest sie ab ab0 cd0 000 Dann induziert diese Abbildung auf denn Matrixen letzterer Bauweise einen Gruppenstruktur derren Verkuepfung die Matrixmultiplikation ist Das neurtrale elemnet dieser Multiplikation ist 100 010 000 Aber das ist eben nur das Neutrale element in der Bildgruppe und nicht fuer alle Matricen Das funktioniert so natuerlich nur weil 100 010 001 Nicht Teil der Bildgruppe ist. Man beachte auch dass jedes Element der Bildgruppe bezogen auf die normale Matrixmultiplikation kein Inverses hat wegen Rang 2 aber bezogen der Multiplikation in der Bildgruppe sehr wohl. |
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. danke und Grüße |
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