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Zusammenhang zwischen Hyperebene und Kern
Universität / Fachhochschule
Lineare Abbildungen
Tags: Hyperebene, Kern, Lineare Abbildungen
 
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anonymous 22:28 Uhr, 08.12.2012  |
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Hallo liebe Mathematiker, Ich sitze vor folgender Aufgabe: Es sei ein Körper und sei ein Untervektorraum des . Beweisen Sie: ist genau dann eine Hyperebene . wenn es eine lineare Abbildung nicht gleich 0 gibt, sodass kern(f)=H. Da ich die Äquivalenz der beiden Aussagen zeigen soll, vermute ich dass ich zuerst die eine dann die andere Richtung zeigen muss. Ich weiß, dass eine Hyperebene ein Untervektorraum der Dimension ist und ich weiß, dass der ker(f)=f^-1(0)= Element sodass (Damit ist eine Menge gemeint) Doch wie kann ich diese Informationen sinnvoll auf die Aufgabe anwenden? Wäre sehr dankbar über Hilfe. |
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Hi, ich kann dir mal zeigen, wie man die Rückrichtung hinbekommt. Also, f:K^n -> K, f nicht 0, ist eine lineare Abbildung mit Kern ker(f)=H (der Kern ist ein Untervektorraum vom K^n). Es gelten die Dimensinen dim(K^n)=n und dim(K)=1. Da f nicht 0 ist, ist das Bild von f in K nicht der Nullvekorraum, d.h. im(f)=f(K^n) enthält mindestens ein Element ungleich 0. Da im(f) ein Untervektorraum von K ist (wegen f linear) der ungleich der Nullraum ist, ist im(f)=K. Es gibt eine Dimensionsformel für lineare Abbildungen, die bezogen auf diesen Fall besagt: dim(K^n)=dim(kern(f))+dim(im(f)). Wegen ker(f)=H gilt dann n=dim(H)+1, also dim(H)=n-1. Gruß |
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anonymous 10:35 Uhr, 10.12.2012 |
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Vielen Dank, deine Antwort hat mir sehr geholfen. Ich versuche mich jetzt mal an der anderen Richtung. |
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