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Zusammensetzung periodischer Funktionen

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Tags: Funktion, Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Periodizität, Zusammensetzung

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13:54 Uhr, 27.06.2014

Hallo, ich bräuchte hierbei eure Hilfe:

Habe mich in letzter Zeit mit periodischen Funktionen beschäftigt und bin auf folgendes Problem gestoßen:

Gegeben ist eine Summe zweier periodischer Funktionen. Ich möchte wissen, warum die gemeinsame Periode zweier periodischer Funktionen ein ganzzahliges Vielfaches zu den beiden Perioden der Summanden bildet.

Kann mir dabei jemand helfen?

Vielen Dank.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Bummerang

14:17 Uhr, 27.06.2014

Hallo,

"Ich möchte wissen, warum die gemeinsame Periode zweier periodischer Funktionen ein ganzzahliges Vielfaches zu den beiden Perioden der Summanden bildet."

Das tun sie im allgemeinen auch gar nicht. Dazu ist es erforderlich, dass eine Periode das rationale Vielfache der anderen Periode ist. Gutes Gegenbeispiel sind

sin (x \cdot π)

und

sin (x)

. Die Periode der ersten Funktion ist

2,

die der zweiten

2 \cdot π

. Jedes ganzzahlige Vielfache der ersten Periode ist eine ganze Zahl und jedes ganzzahlige Vielfache der zweiten Periode ist eine irrationale Zahl. Somit kann KEIN ganzzahliges Vielfaches der beiden Perioden eine gemeinsame Periode von

sin (x \cdot π) + sin (x)

sein!

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14:21 Uhr, 27.06.2014

Danke für die rasche Antwort! Das hilft mir schon weiter!

Ich sollte also dazu sagen, dass es sich konkret um die Summe

f (x) = sin (x) +

cos(ax) handelt. Ich kann jetzt sagen, dass die Periode ein ganzzahliges Vielfaches von 2pi sein muss, da der erste Summand diese Periode hat und die gemeinsame Periode zweier periodischer Funktionen ein ganzzahliges Vielfaches zu beiden Perioden darstellt.

Aber wie kann ich diese Aussage beweisen?

Bummerang

14:27 Uhr, 27.06.2014

Hallo,

jetzt hast Du schon mal gelernt, dass es falsch ist, hier mit selbst erfundenen Aufgaben eine Antwort zu bekommen, die auf die Ursprungsaufgabe passt. Denn warum fragt man hier nach? Weil man sich nicht richtig auskennt. Wenn man nun mit diesem Mangel an Kenntnissen eine Aufgabe erstellt, von der man meint, dass sie das Problem umschreibt, dann meint man das eben nur auf Grundlage seiner mangelnden Kenntnisse! Allerdings ist der Lernprozess damit für Dich noch nicht abgeschlossen, da die neue Aufgabenstellung schon sehr viel näher an der Originalaufgabe ist als der erste Versuch, aber immer noch nicht die Originalaufgabe! In der steht nämlich mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit, aus welcher Menge das a stammt. Also entweder "her mit der Originalaufgabe mit allen Angaben oder "keine sinnvolle Antwort"!

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14:30 Uhr, 27.06.2014

Danke für dein Feedback, a stammt aus den rationalen Zahlen, denn nur dann ist die Zusammensetzung periodisch.

Bummerang

14:54 Uhr, 27.06.2014

Hallo,

die Periode von

sin (x)

istg

2 \cdot π,

das ist klar. Die Periode von

cos (a \cdot x)

ist

\frac{2 \cdot π}{a},

auch das ist klar. Wenn man nun

a \in ℚ

darstellt durch

a = \frac{p}{q}

mit

p, q \in ℤ,

dann ist die Periode von

cos (a \cdot x)

gleich

\frac{2 \cdot π}{\frac{p}{q}} = \frac{2 \cdot π \cdot q}{p} = \frac{2 \cdot q}{p} \cdot π

. Für

k_{s} \in ℤ

gilt:

sin (x + k_{s} \cdot 2 \cdot π) = sin (x)

Für

k_{c} \in ℤ

gilt:

cos (a \cdot (x + k_{c} \cdot \frac{2 \cdot q}{p} \cdot π)) = cos (a \cdot x)

cos (a \cdot x + k_{c} \cdot a \cdot \frac{2 \cdot q}{p} \cdot π)) = cos (a \cdot x)

Wenn für beliebige

x

beide Argumente gleich wären, dann würde gelten:

sin (x + k_{s} \cdot 2 \cdot π) + cos (a \cdot (x + k_{c} \cdot \frac{2 \cdot q}{p} \cdot π)) = sin (x) + cos (a \cdot x)

und

k_{s} \cdot 2 \cdot π = k_{c} \cdot \frac{2 \cdot q}{p} \cdot π

ist eine Periode der Funktion

sin (x) + cos (a \cdot x)

Wann sind denn

k_{s} \cdot 2 \cdot π = k_{c} \cdot \frac{2 \cdot q}{p} \cdot π

k_{s} \cdot 2 \cdot π = k_{c} \cdot \frac{2 \cdot q}{p} \cdot π

k_{s} = k_{c} \cdot \frac{q}{p}

\frac{p}{q} = \frac{k_{c}}{k_{s}}

a = \frac{k_{c}}{k_{s}}

Wenn

k_{c}

und

k_{s}

teilerfremd sind, dann ist

k_{s} \cdot 2 \cdot π

eine gmeinsame Periode.

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