Zustandsfunktion mit totalem Differential

Folgende Aufgabe aus der Physikalischer Chemie:

Gegeben sei eine Zustandsfunktion F(T,p) mit dem totalen Differential von der Form:

${\displaystyle \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-\frac{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Berechnen Sie die Größe a.

Wie muss ich hier vorgehen? Ich habe überhaupt keinen Lösungsansatz.

Das "Totale Diffrential": z = f(x,y)

${\displaystyle \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{\partial \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\partial \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\frac{\partial \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\partial \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Übertragen auf die Aufgabe bedeutet dies:

${\displaystyle \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{\partial \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}{\partial \mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\frac{\partial \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}{\partial \mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-\frac{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

also gilt:

${\displaystyle \frac{\partial \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}{\partial \mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-\frac{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

...

ja gut, ich hätte vielleicht sagen sollen, dass ich weiß was ein totales Differential ist. mein problem ist nur, dass ich nicht weiß wie ich daraus a gewinnen soll.

Vielleicht mit Hilfe der Integration auf beiden Seiten:

${\displaystyle \int \frac{\partial \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}{\partial \mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-\frac{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot \int \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Dann folgt:

${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=-\frac{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot \mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

bzw.:

${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-\frac{\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

Jetzt wurde doch aber nur nach T integriert. Müsste man dann nicht auch noch nach p integrieren?