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Zustandsgleichung eines idealen Gases

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Ideales Gas, Partielle Differentialgleichungen, Zustandsgleichung

dfk200 aktiv_icon

13:43 Uhr, 02.06.2020

Halo zusammen!

Ich habe eine Frage zu meinen Mathehausaufgaben von der Uni :-) (Mathematik nur als Nebenfach)

DIe Zustandsgleichung eines Idealen GAses lautet: $p (T, V) = R \cdot (\frac{T}{V})$ . R=konstant, T=Temperatur, p=druck, V=Volumen

dann sollte ich die Funktion $T (p, V)$ und $V (T, p)$ aufstellen:

Mein Ergebnis ist:
$T (p, V) = \frac{p \cdot V}{R}$

$V (T, p) = \frac{T \cdot R}{p}$

anschließend sollen die partielle Ableitungen dv/dt, dt/dp und dp/dv gebildet werden

mein Ergebnis:
dv/dt= $\frac{R}{p}$

dt/dp $= \frac{V}{R}$

dp/dv= $\frac{- R \cdot T}{V^{2}}$

danach sollten die drei partiellen Ableitungen miteinander multipliziert werden und das Ergebnis sollte irgendwie konstant sein.
wenn ich die drei ausdrücke multipliziere erhalte ich: $\frac{- R \cdot T}{p \cdot V}$
allerdings ist dieser Ausdruck nicht konstant oder? Wo ist mein Fehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

13:51 Uhr, 02.06.2020

Hallo,

der Ausdruck ist durchaus konstant; denn $p V = R T$ .

Gruß ermanus

anonymous

13:56 Uhr, 02.06.2020

Deine Ausgangsgleichung ist:

$p = R \cdot \frac{T}{v}$

folglich:
$1 = \frac{R \cdot T}{p \cdot v}$ (die merken wir uns mal als "Gleichung (a)" ).

Dein Gedankengang:

dv/dT $\cdot$ dT/dp $\cdot$ dp/dv $= 1 = \frac{R}{p} \cdot \frac{V}{R} \cdot \frac{- R \cdot T}{v^{2}} = - R \cdot \frac{T}{p \cdot V} = - 1$
Begründung: siehe Gleichung "(a)".

Also konstant ist das schon mal.
Warum jetzt das Vorzeichen umgepolt ist
$1 = - 1$
?? das muss ich mir selbst mal noch glatt ziehen.
Oder hat sonst wer eine Idee?

ermanus aktiv_icon

14:16 Uhr, 02.06.2020

Hallo,
warum sollte bei partiellen Ableitungen gelten:
$\partial V / \partial T \cdot \partial T / \partial p \cdot \partial p / \partial V = 1$ ?

dfk200 aktiv_icon

14:18 Uhr, 02.06.2020

Ich danke euch schonmal für die schnellen Antworten!! :-)

Enano

20:05 Uhr, 02.06.2020

Hallo,

"Ich habe eine Frage zu meinen Mathehausaufgaben von der Uni"

ich auch: Was soll denn das Ziel deiner Aufgabe sein?

Doch bestimmt nicht nur Anweisungen zu befolgen, Formeln umstellen, partiell ableiten oder multiplizieren zu lernen.

Was ist also der eigentliche Sinn der Übung?

Gibt es eine Frage oder soll eine Formel hergeleitet werden und ggf. welche?

Aufgaben in dieser Form kannte ich bisher nicht, in denen gesagt wird, was ich rechnen soll, aber nicht warum.

dfk200 aktiv_icon

21:00 Uhr, 02.06.2020

Hey,
ich verstehe den Sinn der Aufgabe selbst nicht so genau. Die Aufgabe war auf meinem Arbeitsblatt exakt so, wie ich sie hier aufgeschrieben habe. Ich wollte eigentlich ein Foto der Aufgabe mit hochladen, weiß aber nicht ob wir das dürfen ( der Datenschutz und so) Das ist aus Mathe im Nebenfach im 2. Semester. Nach dem multiplizieren der partiellen Ableitungen sollten wir einen konstanten Wert herausbekommen ( was mich leicht verwirrt hatte ). Aber so wie ich es jetzt hier im Forum verstanden hatte, war mein Ergebnis ja richtig.

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