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Zwei Aussagen zum angeordneten Körper beweisen
Universität / Fachhochschule
Folgen und Reihen
Tags: Angeordneter Körper, Folgen und Reihen
 
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Hallo! Ich benötige eure Hilfe bei meiner letzten Aufgabe in der dieswöchigen Hausaufgabe. Es geht um angeordnete Körper und Konvergenz von Folgen. Aufgabe: Es sei ein angeordneter Körper, in dem jede beschränkte monotone Folge konvergiert. Beweise die folgenden Aussagen: (i) ist archimedisch angeordnet. (ii) genügt dem Intervallschachtelungsprinzip. Bei beiden Aufgaben weiß ich nicht mal wie ich anfangen soll... Wäre für jede Hilfe dankbar! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hmm hat keiner eine Idee?? Also ich weiß, für jede beschränkte monotone Folge gilt zu Ein Körper ist archimedisch angeordnet, wenn folgendes gilt: Zu zwei Größen existiert ein mit . Bringt mich das jetzt irgendwie weiter? |
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Wenn für alle wäre, dann wäre monoton und beschränkt (zwischen und ), also auch konvergent, . Das ist aber nicht möglich, weil dann auch gegen konvergieren muss ( ist nur eine Indexverschiebung, welche die Konvergenz nicht beeinflusst), aber andererseits konvergiert gegen , was ein Widerspruch ist. |
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Ja macht Sinn, auf das mit der Indexverschiebung bin ich nicht gekommen :-) Und wie sieht das Ganze für (ii) aus? |
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Wenn eine Intervallschachtelung und , dann sind die Folgen monoton und beschränkt. Deshalb , so dass . Offensichtlich gilt . Und genauso offensichlich für alle aus . Somit ist Intervallschachtelungsprinzip gültig. |
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