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Zwei Punkte auf Geraden in Raum, Minimaler Abstand

Universität / Fachhochschule

Tags: minimaler Abstand, Punkte auf windschiefen Geraden

werner0234 aktiv_icon

19:08 Uhr, 11.03.2014

Guten Abend,

ich bin neu hier und komme mit einer Aufgabe, die ich nicht allein lösen möchte.
Es geht um zwei windschiefe Geraden

g_{a} : x = a + λ \cdot v

und

g_{b} : x = b + κ \cdot w

.
Verlangt wird die Bestimmung der Punkte

P \in g_{a}

und

Q \in g_{b}

mit minimalem Abstand.
Voraussetzung ist natürlich der nicht triviale Fall, also

a \neq b

und

v, w

nicht kollinear.

Mein bisheriger Lösungsgedanke:
Durch

A (a)

bzw.

B (b)

gehen zwei von

v

und

w

aufgespannte parallele Ebenen

E_{a} : x = a + λ \cdot v + κ \cdot w

E_{b} : x = b + λ \cdot v + κ \cdot w

in denen jeweils

g_{a}

bzw.

g_{b}

liegen.
Projiziert man nun in Richtung Vektor

v \times w

die Ebene

E_{b}

senkrecht auf Ebene

E_{a},

so gilt doch für die Bildgerade

g_{b}' : g_{b}' \subset E_{a}

und es müsste

g_{b}' \cap g_{a}

der auf

g_{a}

gesuchte Punkt

P

sein.
In ähnlicher Weise ließe sich dann auch der Punkt

Q \in g_{b}

bestimmen.

Bevor ich mit der aufwendigen Rechnerei beginne oder wenn ihr einen besseren Vorschlag habt, sagt mir bitte eure Meinung dazu.

Es grüßt
Werner

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

19:19 Uhr, 11.03.2014

Korrektur !

Respon

19:21 Uhr, 11.03.2014

- - - -

werner0234 aktiv_icon

21:20 Uhr, 11.03.2014

Hallo Respon,

was wolltest du mir denn eigentlich mitteilen ??

Übrigens fällt mir gerade noch ein anderer Weg ein. Kann man die Aufgabe nicht auch als Extremwert-Aufgabe auffassen, was aber hier deshalb nicht in Frage kommt, da es sich um Analytsiche Geometrie handelt.

Werner

Matlog aktiv_icon

01:24 Uhr, 12.03.2014

Prinzipiell scheint mir Dein Weg zwar zielführend, aber doch mit sehr viel Aufwand verbunden (gerade die Projektion).

Ich würde so vorgehen:
Wir nehmen einen speziellen Punkt auf

g :

\vec{a} + λ_{0} \cdot \vec{v}

und einen speziellen Punkt auf

h :

\vec{b} + κ_{0} \cdot \vec{w}

und dann den Verbindungsvektor zwischen diesen beiden Punkten:

\vec{z} = \vec{b} - \vec{a} + κ_{0} \cdot \vec{w} - λ_{0} \cdot \vec{v}

Für die kürzeste Entfernung müssen nun zwei Bedingungen erfüllt sein:

\vec{z} ⊥ \vec{v}

und

\vec{z} ⊥ \vec{w}

Daraus kannst Du dann

λ_{0}

und

κ_{0}

bestimmen.

Und noch eine kleine Bemerkung zu
"Voraussetzung ist natürlich der nicht triviale Fall, also a≠b und

v, w

nicht kollinear."

\vec{a} \neq \vec{b}

sichert noch nicht, dass die Geraden sich nicht schneiden!

werner0234 aktiv_icon

10:26 Uhr, 12.03.2014

Vielen Dank Matlog,

das ist ja wirklich eine ebenso leicht zu verstehende wie rechnerisch einfache Lösungsmöglichkeit der Aufgabe.
Warum bin ich nur nicht selbst darauf gekommen ?

Ich rechne jetzt nach deinem Vorschlag weiter und melde mich noch einmal.

Werner

15 : 15

Uhr

Die so erhaltenen Ergebnisse sind wirklich bildschön:

Für

P (x_{0})

bzw.

Q (y_{0})

erhält man

x_{0} = a + \frac{| \begin{matrix} (a - b) \cdot v & v \cdot w \\ (a - b) \cdot w & w \cdot w \end{matrix} |}{| \begin{matrix} v \cdot w & v \cdot v \\ w \cdot w & v \cdot w \end{matrix} |} \cdot v

y_{0} = b + \frac{| \begin{matrix} (a - b) \cdot v & v \cdot v \\ (a - b) \cdot w & v \cdot w \end{matrix} |}{| \begin{matrix} v \cdot w & v \cdot v \\ w \cdot w & v \cdot w \end{matrix} |} \cdot w

Nochmals Dank an Matlog

!!

Leider kann ich ihm nicht durch "hat mir gut geholfen" danken, da sein Name komischer Weise nicht bei den Antwortern meiner Frage erscheint

Werner

werner0234 aktiv_icon

12:17 Uhr, 15.03.2014

Nochmals herzlichen Dank MathLog !

Werner

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