Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Zweimaliges Würfeln - Wahrscheinlichkeit

Zweimaliges Würfeln - Wahrscheinlichkeit

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Erwartungswert

Mukki aktiv_icon

17:09 Uhr, 25.02.2012

Hallo zusammen,

es geht um das zweimalige Würfeln mit einem ungezinkten Würfel:

- Die Wahrscheinlichkeit eine ungerade Zahl zu würfeln, beträgt

(\frac{18}{36})

Es sind

36

Kombinationen mit den beiden Würfeln möglich.

18

davon sind ungerade.
Hier die ungerade Möglichkeiten:

(1,2), (1,4), (1,6)

(2,1), (2,3), (2,5)

(3,2), (3,4), (3,6)

(4,1), (4,3), (4,5)

(5,2), (5,4), (5,6)

(6,1), (6,3), (6,5)

Nun soll die Wahrscheinlichkeit eine ungerade Zahl zu würfeln angegeben werden, ohne aber der Augensumme 3. Dies lässt sich leicht aus der Darstellung ablesen.
Man entfernt einfach die Augensummen 3:

(1,4), (1,6)

(2,3), (2,5)

(3,2), (3,4), (3,6)

(4,1), (4,3), (4,5)

(5,2), (5,4), (5,6)

(6,1), (6,3), (6,5)

Dies Ergbit

(\frac{16}{36})

Nun zu meiner Frage:
Wie ermittel ich dies rechnerisch?

Die Wahrscheinlichkeit, eine 3 zu Würfeln beträgt insgesammt:

(\frac{2}{36})

also die Fälle

(1,2)

und

(2,1)

Keine drei zu Würfeln also

1 - (\frac{2}{36}) = \frac{17}{18}

Nun will ich ja die Wahrscheinlichkeit einer ungeraden und 'einer nicht drei' Verknüpfen - also:
ungerade

\cdot

nicht drei

(\frac{18}{36}) \cdot (\frac{17}{18}) = \frac{17}{36}

warum komme ich damit nicht auf die

(\frac{16}{36})

wie oeben anhand der Darstellung ermittelt?!

Bin für jeden Hinweis dankbar!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

22:29 Uhr, 25.02.2012

Hallo,

Du willst das Gesetz

P (A

und

B) = P (A) \cdot P (B)

verwenden. Das ist nicht allgemeingültig, sondern setzt voraus, dass die Ereignisse A und

B

"unabhängig" voneinander sind. Das gehört zum Themenkreis "Bedingte Wahrscheinlichkeit". Habt Ihr eventuell noch nicht gehabt?

Gruß pwm

Mukki aktiv_icon

23:10 Uhr, 25.02.2012

vielen dank für die Antwort.
Wie komme ich denn mit der bedingten wahrscheinlichkeit auf die

\frac{16}{36}

hagman aktiv_icon

23:35 Uhr, 25.02.2012

Genau wie oben beschrieben:

\frac{18 - 2}{36}

Mukki aktiv_icon

23:44 Uhr, 25.02.2012

Danke für die Antwort.
Aber warum kommt man mit dieser Berechnung nicht zum Ziel?

(\frac{18}{36}) \cdot (\frac{17}{8}) = (\frac{17}{36})

hagman aktiv_icon

23:47 Uhr, 25.02.2012

Weil die Ereignisse "Augensumme ist ungerade" und "Augensumme ist 3" nicht von einander unabhängig sind.

Mukki aktiv_icon

00:01 Uhr, 26.02.2012

wie komme ich dann rechnerisch auf das richtige ergebnis? wenn ich die beiden wahrscheinlichkeiten als werte vorliegen habe.

PhysMaddin aktiv_icon

10:32 Uhr, 26.02.2012

Moin,
Du vergisst bei Deiner Aufzählung die Kombinoationen

(1,1), (1,3),

etc.... und analog für 3 und 5 ergibt
das

3 \cdot 3 = 9

mehr Möglichkeiten,
daraus ergeben sich

27

ungerade Kombinationen

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}

Anzahl der Kombimöglichkeiten

M = 6 \cdot 6 = 36

anzahl der ungeraden Zahlen

N_{1} = 3

Möglichkeiten bei einem Wurf, eine ungerade Zahl zu werfen

(\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) = \frac{6!}{1! \cdot 5!} = \frac{720}{120} = 6

Du hast also bei einem Wurf die Wahrscheinlichkeit

P_{1 U} = \frac{3}{6},

dass die geworfene Zahl ungerade ist (trivial)

Beim zweiten Wurf ergeben sich die Kombinationen
1. Fall erste Zahl ungerade
Egal welche Zahl im zweiten Fall geworfen wird, die Kombination ist auf jeden Fall "ungerade", also

P_{U} = \frac{3}{6} \cdot 1 = \frac{18}{36}

2. Fall erste Zahl gerade
Auch hier ist

P_{1 G} = \frac{3}{6}

. Für den zweiten Wurf ergibt sich mit

P_{2 U} = \frac{3}{6}

P_(GU)

= \frac{3}{6} \cdot \frac{3}{6} = \frac{9}{36}

Die Werte für diese zwei Fälle musst Du addieren, weil jeder für sich eine Teilmenge der möglichen Ereignisse bildet (streng genommen sind es drei von vier möglichen Fällen. Überlege mal, welche

: -)

Insgesamt hast Du

P_{U} = \frac{18 + 9}{36} = \frac{27}{36}

Wenn Du jetzt

N_{1} = 2

setzt (weil die 3 herausfällt)
hast Du

\frac{2}{6} \cdot 1 + \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{16}{36},

was der Abzählung entspricht.

Mukki aktiv_icon

13:26 Uhr, 26.02.2012

Vielen herzlichen Dank für Deine ausführliche Antwort.
Ich komme bei der Berechnung:

\frac{2}{6} \cdot 1 + \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6}

nicht auf

\frac{16}{36}

sondern auf

\frac{4}{9}

Sowie weiter oben schreibst Du, das

\frac{3}{6} \cdot 1 = \frac{18}{36}

ist.
Handelt es sich hierbei um ein Tippfehler?

Viele Grüße

PhysMaddin aktiv_icon

15:10 Uhr, 26.02.2012

Äh,

1 = \frac{6}{6}

bzw.

\frac{18}{36} = \frac{3 \cdot 6}{6 \cdot 6}

Du erinnerst Dich an das Rechnen mit Brüchen (Kürzen, etc)?

Mukki aktiv_icon

15:19 Uhr, 26.02.2012

ohhhh man... ich entschuldige mich... da hab ich ja komplett falsch geguckt...
vielen Dank für die Antwort und die ausführliche Hilfe!!!

976818

976535

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?