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Zweite Ableitung durch erste Ableitung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Partielle Differentialgleichungen

Jessy3 aktiv_icon

22:54 Uhr, 20.01.2013

Hallo,

ich habe hier eine Gleichung

\frac{v'' (x)}{v' (x)} = \frac{1}{x} - 4

und weiss nicht damit umzugehen.

Ich will das ganze Aufleiten. Ich weiss dass

v' (x) = \frac{d v}{d x}

ist.

Laut lösung soll ich auf

ln | v' (x) | = ln | x | - 2 x^{2} + c

kommen

mit

v' (x) = \frac{1}{2} x e^{- 2 x^{2}}

und

v (x) = e^{- 2 x^{2}}

Ich weiß weder, wie ich die Aufleitung hinbekomme, noch wie

v' (x) = \frac{1}{2}

werden soll? wo kommt das

\frac{1}{2}

auf einmal her?

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

CKims aktiv_icon

23:37 Uhr, 20.01.2013

die musterloesung ist falsch... oder du hast die aufgabe falsch abgetippt... auf jeden fall fehlen ein paar awp um die integrationskonstanten eindeutig berechnen zu koennen...

falls du die aufgabe richtig abgeschrieben hast, muss du jedenfalls folgendermassen vorgehen

auf beiden seiten integrieren

\int \frac{v'' (x)}{v' (x)} d x = \int \frac{1}{x} - 4 d x

und jetzt links die integration durch substitution anwenden... substituiere

z = v' (x)

rundblick aktiv_icon

00:39 Uhr, 21.01.2013

CKims

\to

mir scheint deine andere Vermutung naheliegender:
" oder du hast die aufgabe falsch abgetippt.."

dh Jessy3 sollte also erstmal nachschauen, ob die Aufgabe so aussieht:

\frac{v'' (x)}{v' (x)} = \frac{1}{x} - 4 x

Jessy3 aktiv_icon

11:18 Uhr, 21.01.2013

Ich mach die Aufgabe mal komplett hier rein, vllt. liegt mein Fehler ja ganz wo anderst.

Ich habe die lineare DGL und soll die allgemeine Lösung bestimmen

u'' (x) - \frac{1}{x} u' (x) - 4 x^{2} u (x) = 0

x > 0

a)

Zeigen sie das

u_{1} (x) = e^{x}^2, x > 0

Lösung der DGL ist

Das ist ja relativ einfach, eingesetzt, dann kommt 0 raus und fertig

b)

Bestimmen sie eine dazu linear unabhängige Lösung

u_{2}

durch Reduktion der Ordnung,

d . h

durch den Ansatz

u_{2} (x) = u_{1} (x) v (x)

Ich nenn

u_{2}

jetzt mal

z

und

u_{1} w

damit ich weniger tippen muss.

ich hab dann

z

abgeleitet

z' (x) = v' (x) w (x) + v (x) w' (x)

z'' (x) = v'' (x) w (x) + 2 v' (x) w' (x) + v (x) w'' (x)

Das dann in die DGL eingesetzt, aufgelöst und schließlich

u_{1}

eingesetzt.

Dan komme ich auf

\frac{v'' (x)}{v' (x)} = \frac{1}{x} - 4 x

und ja hier hab ich wohl was falsch abgetippt. Ich hab das

x

vergesse. Tut mir leid

Wenn ich das dann wie von euch gesagt substituiere

umm ich auf

ln | v' (x) | = ln | x | - 2 x^{2} + c

So weit so gut, dank euch.

Jetzt wird als Lösung trotzdem noch

v' (x) = \frac{1}{2} x e^{- 2 x^{2}}

und

v (x) = e^{- 2 x^{2}}

angegeben. Ich weiss nicht wie ich von

ln | v' (x) | = ln | x | - 2 x^{2} + c

auf

v' (x) = \frac{1}{2} x e^{- 2 x^{2}}

kommen soll?

bei einem AWP würd ich ja einfach einen Wert

k = \pm e^{c}

einsetzen und mit dem gegebenen Wert

k

ausrechnen. Ich hab jedoch keinen Wert gegeben.

Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?

Danke

rundblick aktiv_icon

11:57 Uhr, 21.01.2013

Ich weiss nicht wie ich von

ln|v′(x)|=ln|x|−2

x^{2} + c_{1} =

ln|cx|

- 2 x^{2}

auf

v′(x)=...

kommen soll?

〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 >

auf beiden Seiten

e

hoch(..)

\to

| v' (x) | = e^{ln | c x | - 2 x^{2}}

v′(x)

= c \cdot x \cdot e^{- 2 x^{2}}

und nun wirst du sicher noch die "Anfangsbedingung" finden, mit der sich dann

c = \frac{1}{2}

ergibt

so

und nun noch

\int (\frac{1}{2} \cdot x \cdot e^{- 2 x^{2}}) \cdot d x =

?

berechnen, dann hast du

v (x) = .

.

ok?

Jessy3 aktiv_icon

14:00 Uhr, 21.01.2013

Ja hi,

vielen Dank für die Antwort, aber ich habe keine Anfangsbedingung, auser das

x > 0

sein soll

Ich habe daher keine Ahnung wie ich auf

c = \frac{1}{2}

kommen soll.

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