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Zweite Ableitung und Extremstellen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Extremstellen

 
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user13120

user13120 aktiv_icon

12:04 Uhr, 03.02.2022

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Moin,
hab hier die Aufgaben

Bei (i)
Ich hab die Folgerung negiert (also aus nicht B folgt nicht A), sodass ich da stehen habe:

Wenn f´´( x0)<0 gilt, so ist x0 kein lokales minimum von f.
Nun können wir auch noch annehmen, dass f´(x_0) =0 gilt, da es sonst gar nicht erst eine lokale Extremstelle, geschweige denn ein lokales minimum sein kann.

Es gilt also

f´´( x0)=limx→x0,( (f´(x) /(x-xo)<0

Mir fehlt nun aber irgendwie der nächste Schritt...
Hätte jemand eine Idee? :-)
Danke

Bildschirmfoto 2022-02-03 um 11.50.31

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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ledum

ledum aktiv_icon

13:00 Uhr, 03.02.2022

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Hallo
der direkte Weg und dein indirekter sind fast identisch, benutze f''>0 heisst f' steigend, mit f'(x0)=0 heisst das f' negativ für x<x0 und positiv für x>x0 in einem Intervall um x0, das = muss einzeln diskutiert werden.
Gruß ledum
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rundblick

rundblick aktiv_icon

17:34 Uhr, 03.02.2022

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.

mich stört bei Teil 3i das " = " bei f''(x0)≥0...
denn wenn an der Stelle x0 ein lokales Minimum vorliegt, dann müsste doch der Graph von f
durch diese Stelle linksgekrümmt (konvex) verlaufen , also es müsste f''(x0)>0 gelten ?

.
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Roman-22

Roman-22

20:57 Uhr, 03.02.2022

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> denn wenn an der Stelle x0 ein lokales Minimum vorliegt, dann müsste doch der Graph von f
durch diese Stelle linksgekrümmt (konvex) verlaufen , also es müsste f′′(x0)>0 gelten ?

Muss nicht! Denke an Flachpunkte und Flachpunkte höherer Ordnung. Etwa f:y→x4 an der Stelle x0=0.

Ein Extremum liegt vor, wenn die Ordnung der ersten an der Stelle x0 von Null verschiedenen Ableitung gerade ist und da unterscheidet dann das Vorzeichen zwischen zwischen Max und Min.
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