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Zwischenwertsatz
Schüler Fachoberschulen, 10. Klassenstufe
Tags: Funktion, Stetigkeit, Zwischenwertsatz
 
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Hey, wir haben heute den Zwischenwertsatz "erklärt" bekommen. In wirklichkeit haben wir nur eine halbe Seite diktiert bekommen wofür das alles gut ist. Mein Problem ist, dass ich kein konkretes Beispiel habe mit dem ich mich auseinandersetzen könnte. Ich weiß, dass der Zwischenwertsatz für die "Nullstellenerkennung" stetiger Funktionen innerhalb eines Intervalls benötigt wird. Zudem kommt jeder Zwischenwert y, der zwischen f(a) und f(b) liegt mindestens einmal als Funktionswert vor. Nur was bringt mir diese Info? Ich würde mich freuen, wenn mir jemand den Zwischenwertsatz nochmals anhand von Beispielen erklären könnte. Danke |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff) Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: | |
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anonymous 00:20 Uhr, 03.10.2013 |
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Naja, kommt darauf an, was du mit "Beispiel" meinst. Der Zwischenwertsatz ist einfach ein Satz und als solcher als eine Art Werkzeug zum zeigen anderere Sätze oder Lösen von Aufgaben nützlich. Daher gibt es im Prinzip keine Beispiele für den Zwischenwertsatz direkt, aber Beispiele für seine Anwendung, die jedoch theoretisch in den verschiedensten Bereichen liegen kann. Ich versuche jedoch ein paar Beispiele zu liefern, wie du sie dir evtl. gedacht hast. Die häufigste Anwendung ist meinem Empfinden nach, die Lösbarkeit von Gleichungen zu zeigen. insbesondere Gleichungen vom Typ zur Nullstellenbestimmung, worauf du selbst bereits verwiesen hast. 1. Beispiel: Man will zeigen, dass mindestens ein die Gleichung löst. Dieses exakt zu berechnen, ist nicht (bzw. nicht durch einfaches Auflösen) zu ermitteln. Aber das braucht man evtl. auch gar nicht. Man will zunächst nur zeigen, dass es existiert und evtl. einen groben Bereich haben, in dem man dann weiter suchen kann. Man formt die Gleichung nun so um, dass auf einer Seite nur noch eine konstante Zahl steht. Meist erzeugt man eine 0 auf der rechten Seite, indem man den Term, der zunächst auf der rechten Seite steht, auf beiden Seiten subtrahiert. Damit es nicht lngweilig wird, addiere ich beim Beispiel auf beiden Seiten jedoch nur ein was auch ausreicht. So erhält man die folgende äquivalente Gleichung: Man betrachtet nun die Funktion mit und . Die Funktion ist offensichtlich als Produkt/Summe stetiger Funktionen wieder stetig. Nun gilt und also . Nun kann man den Zwischenwertsatz anwenden, welcher in diesem Fall besagt, dass ein existiert, so dass und damit auch die ursprüngliche Gleichung erfüllt wird. 2. Beispiel: Ein weiteres Beispiel findet man bei einer möglichen Definition von . In der Analysis wird gerne als das Doppelte der kleinsten postiven Nullstelle der Kosinusfunktion definiert. Dann ist allerdings nur dann wohl-definiert, wenn diese Nullstelle überhaupt existiert. Und bei diesem Existenzbeweis benutzt man den Zwischenwertsatz. Man beweist, dass die Kosinusfunktion stetig ist, gilt und ist. (Da das doch evtl. etwas länger dauert, schreibe ich nich wie.) Da also und steitig, besagt der Zwischenwertsatz, dass mindestens ein existiert, so dass . Genau genommen gibt es nur eine Nullstelle in was man mit Hilfe der strengen Monotonie in zeigen kann. Damit hat man dann gezeigt, dass es die Nullstelle gibt und kann ihren doppelten Wert zur Definition von nutzen. 3. Beispiel: Da man in der Schule allerdings keine (längeren) Beweise führen muss, würde eine typische Aufgabe wohl lauten: " Zeige, dass die Funktion mit der Funktionsgleichung (mindestens) eine Nullstelle besitzt. " Lösung: Also gilt . Da außerdem als Verknüpfung (Summe/Produkt/Verkettung) stetiger Funktionen wieder stetig ist, folgt aufgrund des Zwischensatzes, dass ein existiert, so dass . |
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Hier noch ein recht hilfreicher Link: http//www.onlinetutorium.com/product_info.php?products_id=567 mfG Atlantik |
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Dankeschön ! |
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