Zwischenwertsatz Aufgabe - ZWS

Hallo zusammen! Ich habe eine Aufgabe zum Zwischenwertsatz und weiß nicht so recht ob mein Ansatz korrekt ist.

Gegeben ist eine stetige Fkt. ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:[0,3]\to [1,2]}$

Nun soll man zeigen, dass ein ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\in [0,3]}$ existiert für welches folgende Bedinung gilt:

*) ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\right)={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$

Als Bemerkung steht in der Aufgabenstellung noch, dass man

${\displaystyle \mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

beachten solle und den ZWS anwenden soll.

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Mein Ansatz war, dass ich mir eine stetige Fkt definiere, welche die Voraussetzungen aus der Aufgabenstellung erfüllt.

Also: ${\displaystyle \widetilde{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=1+\frac{2-1}{3-0}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\iff \widetilde{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=1+\frac{1}{3}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

und: ${\displaystyle \mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=1+\frac{1}{3}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

dann habe ich u(x) auf eine Nullstelle untersucht. Also:

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\right)=0 \\ \iff 0=1+\frac{1}{3}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0 \\ \iff 0=1-\frac{2}{3}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0 \\ \iff \frac{2}{3}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0=1|\cdot \frac{3}{2} \\ \iff {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0=1,5} \end{gathered}$$

Das ermittelte ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0=1,5}$ setze in nun in *) ein und erhalte

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\right)={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\iff 1+\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{2}}$

damit wäre ja mit dem ZWS gezeigt, dass es solch ein x existiert!

Darf ich das so lösen? Irgendwie habe ich den Eindruck, dass das nicht so ganz ist, was in der Aufgabe verlangt ist. Desweiteren könnte ich ja auch

${\displaystyle \widetilde{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=1,5}$ definieren, dann wäre ja auch klar, dass für ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0=1,5}$ der ZWS erfüllt ist.

Ich freue mich sehr über eure Hilfe!

Danke für die schnelle Antwort! Dann müsste doch folgendes gelten:

Also wenn:

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(0\right)=\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(0\right)-0 \\ \Rightarrow \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(0\right)\ge 1>0 \\ } \end{gathered}$$

dann gilt für

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(3\right)=\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(3\right)-3 \\ \Rightarrow \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(3\right)\le 2<3 \\ } \end{gathered}$$

daraus folgt doch, dass für ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(0\right)>0}$ gilt und für ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(3\right)<0}$ gilt. Also gibt es gemäß ZWS eine Nullstelle ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\in [0,3]}$ für ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\right)=0}$ woraus wiederum folgt, dass ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\right)={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$

Damit wäre das doch gezeigt, oder liege ich falsch?

Super, vielen Dank!