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Z[x] kein euklidischer RIng

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Ring

 
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anonymous

anonymous

11:20 Uhr, 17.01.2020

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Hallo,
wenn man zeigen möchte, dass Z[x] kein euklidischer Ring ist, wird häufig das Beispiel (x,2) genommen, um zu zeigen, dass wir aus diesem Ideal kein Hauptideal bauen können.
Meine Überlegung dazu war folgende:
Gäbe es ein Hauptideal (d) von (x,2) so müssen x und 2 Vielfache von d sein... ggt(x,2)=1
Und hier komme ich noch nicht ganz weiter...

Kann man eigentlich auch noch anders zeigen, dass Z[X] nicht euklidisch ist?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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anonymous

anonymous

11:35 Uhr, 17.01.2020

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Warum folgert man aus dem Körper F2 das dann F2[x] euklidisch ist ?
Mir ist irgendwie klar, dass F2[x] ein Körper ist und demnach euklidisch,
aber was hat das mit "nur" F2 zutun?
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ermanus

ermanus aktiv_icon

12:39 Uhr, 17.01.2020

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Hallo,
F2[x] ist kein Körper, wohl aber ein euklidischer Ring;
denn K[x] ist für jeden Körper K ein euklidischer Ring
vermöge der Gradfunktion.
Gruß ermanus
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ermanus

ermanus aktiv_icon

13:12 Uhr, 17.01.2020

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Aus d∣2 folgt, dass bis auf Einheitsfaktoren: d=1 oder d=2 sein muss ...
d=2 verträgt sich nicht mit d∣x, also wäre d=1, dann wäre (2,x)=(1),
was du ja schon mit ggT(2,x)=1 richtig gesehen hast.
Es gäbe also f,g∈Z[x] mit 2f+xg=1. Einsetzen von x=0 liefert
2f(0)=1, d.h. f(0)=1/2∉Z, obwohl f∈Z[x]. Das geht nicht.
anonymous

anonymous

15:40 Uhr, 17.01.2020

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Vielen Dank für deine Antwort.
Und was sind die großen Vorteile in einem euklidischen Ring zu rechnen?
Es gibt sicherlich viele, aber gerade in Bezug auf die Teilbarkeit ?
Wir haben zum Beispiel die Primfaktorzerlegung für den euklidischen Ring definiert.
anonymous

anonymous

15:40 Uhr, 17.01.2020

Antworten
Vielen Dank für deine Antwort.
Und was sind die großen Vorteile in einem euklidischen Ring zu rechnen?
Es gibt sicherlich viele, aber gerade in Bezug auf die Teilbarkeit ?
Wir haben zum Beispiel die Primfaktorzerlegung für den euklidischen Ring definiert.
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