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Zyklische Permutation?

Universität / Fachhochschule

Tags: Linear Abbildung, Lineare Algebra, permutation

Lena96 aktiv_icon

17:30 Uhr, 06.05.2017

Hey Leute :-D)

Das Thema ist ziemlich einfach , allerdings versteh ich nicht genau was in Aufgabe

1 b

verlangt ist.
Könnte mir jemand erklären, was sie damit meinen ?

Dankeschön schonmal und liebe grüße :-))

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mihisu aktiv_icon

17:48 Uhr, 06.05.2017

Man kann jede Permutation in Zykelschreibweise als Produkt elementfremder Zykel schreiben.

Beispielsweise ist

(1 3 4) (2 8) (5 6 7) (10)

die Permutation mit

1 \mapsto 3, 3 \mapsto 4, 4 \mapsto 1,

2 \mapsto 8, 8 \mapsto 2,

5 \mapsto 6, 6 \mapsto 7, 7 \mapsto 5,

10 \mapsto 10

.

Beispiel für

σ_{1}

aus der Aufgabe:
Fange mit der 1 an.

(1

Worauf wird 1 abgebildet? Es ist

σ_{1} (1) = 1

. Wir erhalten also wieder die

1,

welche wir bereits hatten. Schließe demnach den Zykel.

(1)

Suche dir das nächste Element, welches bisher noch nicht vorgekommen ist. Mache also mit 2 weiter.

(1) (2

Worauf wird 2 abgebildet? Es ist

σ_{1} (2) = 3

(1) (2 3

Worauf wird 3 abgebildet? Es ist

σ_{1} (3) = 5

(1) (2 3 5

Worauf wird 5 abgebildet? Es ist

σ_{1} (5) = 8

(1) (2 3 5 8

Worauf wird 8 abgebildet? Es ist

σ_{1} (8) = 2

. Die 2 hatten wir schon. Demnach wird der Zykel geschlossen.

(1) (2 3 5 8)

Suche das nächste Element, welches bisher noch nicht vorgekommen ist. Mache also mit 4 weiter.

(1) (2 3 5 8) (4

Worauf wird 4 abgebildet? Es ist

σ_{1} (4) = 7

(1) (2 3 5 8) (4 7

Worauf wird 7 abgebildet? Es ist

σ_{1} (7) = 10

(1) (2 3 5 8) (4 7 10

Worauf wird

10

abgebildet? Es ist

σ_{1} (10) = 6

(1) (2 3 5 8) (4 7 10 6

Worauf wird 6 abgebildet? Es ist

σ_{1} (6) = 9

(1) (2 3 5 8) (4 7 10 6 9

Worauf wird 9 abgebildet? Es ist

σ_{1} (9) = 4

. Die 4 hatten wir schon. Demnach wird der Zykel geschlossen.

(1) (2 3 5 8) (4 7 10 6 9)

Nun wurden alle Elemente abgehandelt. Wir sind fertig, und haben nun

σ_{1}

in Zykelschreibweise mit disjunkten Zykeln:

σ_{1} = (1) (2 3 5 8) (4 7 10 6 9)

Oftmals werden Fixpunkte, also Zykel der Länge 1 weggelassen, so dass man auch

σ_{1} = (2 3 5 8) (4 7 10 6 9)

schreiben kann.

Lena96 aktiv_icon

18:04 Uhr, 06.05.2017

Danke für deine Zeit und Mühe mit der ausführliche Antwort :-D) Jetzt habe ich es auch verstande!!

Wünsche dir noch ein schönes Wochenende

〈

liebe grüße

Lena96 aktiv_icon

18:25 Uhr, 06.05.2017

Danke für deine Zeit und Mühe mit der ausführliche Antwort :-D) Jetzt habe ich es auch verstande!!

Also bei

σ 3

bekomme ich dann

(1478) (21039) (5) (6)

Und bei

σ 2

bin ich mir jetzt nicht sicher , bei dem ersten Zyklus komm ich auf

(125897)

und dann ist die 1 aber im 2 Zyklus nocu einmal vorhanden , wenn ich mit 3 beginne , aber darf das denn sein ?
Wünsche dir noch ein schönes Wochenende

〈

liebe grüße

mihisu aktiv_icon

19:01 Uhr, 06.05.2017

Dein Ergebnis zu

σ_{3}

passt:

σ_{3} = (1 4 7 8) (2 10 3 9) (5) (6)

Bei

σ_{2}

endet der Zykel, den du hingeschrieben hast nicht bei

7,

sondern geht mit 4 weiter, da 7 nicht auf 1 sondern auf 4 abgebildet wird. Eine mögliche Zykelschreibweise für

σ_{2}

wäre:

σ_{2} = (1 2 5 8 9 7 4 10 6 3)

Lena96 aktiv_icon

19:28 Uhr, 06.05.2017

ja stimmt. Hab ich falsch geguckt :-D) danke und wenn ich jetzt

σ 2

und

σ 3

multiplizieren möchte, dann ist es praktisch das selbe, nur man liest von rechts nach links, oder? hahah :-D)DD

mihisu aktiv_icon

20:20 Uhr, 06.05.2017

Ich weiß nicht ganz, ob du das richtige meinst. Du willst

σ_{2}

mit

σ_{3}

multiplizieren, also

σ_{2} \circ σ_{3}

berechnen. Dann fängt man auch wieder an:

Worauf wird 1 abgebildet? Es ist

σ_{3} (1) = 4

und

σ_{2} (4) = 10

. Daher wird 1 auf

10

abgebildet.

Worauf wird

10

abgebildet? Es ist

σ_{3} (10) = 3

und

σ_{2} (3) = 1,

also wird 3 auf 1 abgebildet.

⋮

Es ergibt sich:

σ_{2} \circ σ_{3} = (1 10) (2 6 3 7 9 5 8) (4)

Wie bei Abbildungen üblich wird bei einer Verkettung

(σ_{2} \circ σ_{3})

zuerst in die rechte Abbildung (hier

σ_{3})

eingesetzt und dann das Ergebnis in die Abbildung weiter links eingesetzt:

(σ_{2} \circ σ_{3}) (x) = σ_{2} (σ_{3} (x))

\\\\

Noch ein Beispiel:

(1 4 3 6) \circ (2 1) \circ (4 1 3)

Ich fange wieder mit 1 an:

(1

Nun fange ich mit dem rechten Zykel an und sehe, dass dieser 1 auf 3 abbildet. Der mittlere Zykel lässt die 3 unverändert und der linke Zykel bildet dann 3 auf 6 ab. Also kurz:

1 \mapsto 3 \mapsto 3 \mapsto 6

.

Nun habe ich:

(1 6

Nun ist

6 \mapsto 6 \mapsto 6 \mapsto 1

(1 6)

Nun mache ich mit 2 weiter.

(1 6) (2

Nun ist

2 \mapsto 2 \mapsto 1 \mapsto 4

(1 6) (2 4

Nun ist

4 \mapsto 1 \mapsto 2 \mapsto 2

(1 6) (2 4)

Nun mache ich mit 3 weiter.

(1 6) (2 4) (3

Nun ist

3 \mapsto 4 \mapsto 4 \mapsto 3

(1 6) (2 4) (3)

Nun bin ich fertig. (Die 4 kommt bereits vor. Die 5 wird von allen Zykeln unverändert gelassen,

d . h

. 5 ist Fixpunkt, welchen man in Zykelschreibweise weglassen kann. Die 6 kommt bereits vor. Die höheren Zahlen braucht man analog wie 5 nicht untersuchen.)

Es ist also:

(1 4 3 6) \circ (2 1) \circ (4 1 3) = (1 6) (2 4) (3)

Die

(3)

könnte man als Fixpunkt auch weglassen:

(1 4 3 6) \circ (2 1) \circ (4 1 3) = (1 6) (2 4)

\\\\

Im Grunde könnte man also in etwa folgendes sagen:
Innerhalb der Zykel liest man von links nach rechts.
Jedoch ist die Reihenfolge, in der man die Zykel beim rechnen beachten muss, wie sonst bei Abbildungen auch, von rechts nach links.

Lena96 aktiv_icon

13:58 Uhr, 11.05.2017

alles klar danke. das habe ich jetzt auch verstanden, dank deiner hilfe :-D)

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