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Zyklische Prozesse

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Matrix

Mathigo aktiv_icon

00:05 Uhr, 18.09.2015

Hallo
Ich habe ein Problem

. .

.
Meine Matrix muss falsch sein.

M = (1

. SPALTE

0,01 - 0,7 - 0)

2.SPALTE

(0 - 0 - 0,15)

3.SPALTE

(0 - 0 - 0.95)

.
Mein Vektor ist

a = (0 - 0 - 264)

.

Die Aufgabe:
Ein Bauer zählt auf seinem Land

264

Kastanienbäume, von denen er im Jahr durchschnittlich

300

Kastanien pro Baum ernten kann. Der Bauer hat bemerkt, dass sein Kastanienbaumbestand bedingt durch das Alter der Bäume, Brände und Schädlingsbefall jährlich um etwa

5 %

abnimmt. Er beshcließt deshalb, jährlich von etwa

1 %

der Kastanien Sämlinge zu ziehen. Er rechnet damit, dass

70 %

der Sämlinge im nächsten Jahr zu Setzlingen werden. Von den Setzlingen wiederum wachsen innerhalb eines Jahres nur

15 %

zu Kastanien heran, die anderen werden durch Schädlinge und Wild vernichtet.

a)

Wie ist die Entwicklung nach

10

Jahren?

b)

Wann existieren

400

Bäume?

Über Fehlersuche und Mithilfe würde ich mich freuen :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

-Wolfgang-

02:40 Uhr, 18.09.2015

Hallo Felicia,
nach einem Jahr hast du nur

0,95 \cdot 264 = 250,8 \approx 251

Bäume, weil zu Beginn des Jahres keine Setzlinge zur Verfügung standen. Nach dem zweiten Jahr hast du

0,315 \cdot 264 + 0,95 \cdot 251 = 321,6 \approx 322

Bäume.

[

Die Prozentzahl

0,315

erhälst du aus

300 \cdot 0,01 \cdot 0,7 \cdot 0,15]

Wenn du dann mit deiner Matrix A und dem Startvektor

v

mit

A^{t} \cdot v

den Bestand nach

t

WEITEREN Jahren ausrechnen willst, kannst du

A = (\begin{matrix} 0,315 & 0,95 \\ 0,315 & 0,95 \end{matrix})

und

v = (\begin{matrix} 322 \\ 322 \end{matrix})

nehmen.

[

Ich wüsste nicht, wie man die einzelnen Prozentzahlen in einer Matrix unterbringen könnte.]
Nach zehn Jahren erhältst du dann (zumindest mathematisch!) den Bestand

A^{8} \cdot v \approx 2111

Bäume

Wenn nur die Entwicklung EINER Größe betrachten willst, macht die Matritzenrechnung aber wenig Sinn.

[

vgl. unten]
Ich wüsste auch nicht, wie man die Matritzengleichung nach der Zeit umstellen könnte.
Man müsste also in

b)

einfach so lange mit der Matrix immer wieder den Ergebnisvektor multiplizieren, bis der gewünschte Bestand erreicht ist.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Du kannst den Bestand

B (t)

nach

t

weiteren Jahren aber auch einfach mit der Wachstumsgleichung

B (t) = 322 \cdot {1,265}^{t}

ausrechnen.

[

[

Den Wachstumsfaktor

1,265

erhältst du aus

0,95 + 0,315

[

vgl. oben]
Für die Berechnung der Zeit, wann du

400

Bäume hast, setzt du in

[

B (t) = 400

ein und
stellst die Gleichung nach

t

um:

t = \frac{ln (\frac{400}{322})}{ln (1,265)} \approx 0,45,

mathematisch also nach

2,45

Jahren.Zu diesem Zeitpunkt sind im dritten Jahr aber schon Bäume abgestorben, aber noch keine Setzlige "erwachsen".
Man muss also wohl von drei Jahren ausgehen.

VlG Wolfgang

P . S

. Da hat mal wohl mal wieder jemand einen Text verfasst, ohne zu ahnen, was er mit seinem "Anfangschaos" anrichtet. :-)

Mathigo aktiv_icon

07:05 Uhr, 18.09.2015

Vielen lieben Dank :-)
Aber wie kommst du auf die

0.45

?
Wenn ich das im Taschenrechner eingebe, kommt da

0.98

heraus

\frac{:}{}

Matlog aktiv_icon

12:49 Uhr, 18.09.2015

Hm, also mit Wolfgangs Lösung der Aufgabe kann ich mich gar nicht anfreunden!

Frage zur Interpretation des Aufgabentextes:
Wie lange dauert es, bis aus einem Baum über Kastanie, Sämling und Setzling ein neuer Kastanienbaum entstanden ist?

-Wolfgang-

13:36 Uhr, 18.09.2015

@Mathigo: du must bei der Wachstumsfunktion auch

t = 8

Jahre eingeben.
Dann erhält man

\approx 0,92,

also insgesamt

\approx 3

Jahre (hatte aus Versehen

1,625

statt

1,265

eingegeben).

@Mathlog: ich habe das so verstanden, dass das 2 Jahre dauert.

W

Matlog aktiv_icon

13:58 Uhr, 18.09.2015

@Wolfgang:
Ich hätte Deine Rechnung (wegen

300 \cdot 0,01 \cdot 0,7 \cdot 0,15 = 0,315)

jetzt sogar so gedeuted, dass alles innerhalb eines Jahres passiert.

Mathigo ist wohl von einem dreijährigen Zyklus ausgegangen, wo ich mich anschließen würde (vielleicht sogar ein vierjähriger Rhythmus, falls es von der Kastanie zum Sämling auch noch ein Jahr dauert).
Allerdings sind in der Matrix die

300

Kastanien komplett unberücksichtigt und die

0,01

steht nicht an der richtigen Stelle.

Stephan4

17:27 Uhr, 18.09.2015

Wenn die Zahl der Sämlinge pro Baum

300 \cdot 1 % = 3

ist, und wenn es ein Jahr bis zum Setzling dauert, und wenn die restlichen

30 %

der Sämlinge absterben und nicht Sämlinge bleiben, dann komme ich auf folgenden Bestand im nächsten Jahr:

a_{1} = M x a_{0} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 3 \\ 0,7 & 0 & 0 \\ 0 & 0,15 & 0,95 \end{matrix}) x (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 264 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 792 \\ 0 \\ 250,8 \end{matrix})

a_{2} = M^{2} x a_{0} = (\begin{matrix} 0 & 0,45 & 2,85 \\ 0 & 0 & 2,1 \\ 0,105 & 0,1425 & 0,9025 \end{matrix}) x a_{0} = (\begin{matrix} 752,4 \\ 554,4 \\ 238,26 \end{matrix})

a_{3} = M^{3} x a_{0} = (\begin{matrix} 0,315 & 0,428 & 2,708 \\ 0 & 0,315 & 1,995 \\ 0,100 & 0,135 & 1,172 \end{matrix}) x a_{0} = (\begin{matrix} 714,78 \\ 526,68 \\ 309,507 \end{matrix})

a_{4} = M^{4} x a_{0} = (\begin{matrix} 0,299 & 0,406 & 3,517 \\ 0,221 & 0,299 & 1,895 \\ 0,095 & 0,176 & 1,413 \end{matrix}) x a_{0} = (\begin{matrix} 928,521 \\ 500,346 \\ 373,034 \end{matrix})

a_{5} = M^{5} x a_{0} = (\begin{matrix} 0,284 & 0,528 & 4,239 \\ 0,209 & 0,284 & 2,462 \\ 0,123 & 0,212 & 1,627 \end{matrix}) x a_{0} = (\begin{matrix} 1119,101 \\ 649,965 \\ 429,434 \end{matrix})

Hurra,

400

Bäume sind erreicht!

a_{10} = M^{10} x a_{0} = (\begin{matrix} 0,713 & 1,198 & 9,399 \\ 0,422 & 0,713 & 5,593 \\ 0,280 & 0,470 & 3,690 \end{matrix}) x a_{0} = (\begin{matrix} 2481,426 \\ 1476,461 \\ 974,057 \end{matrix})

:-)

-Wolfgang-

05:14 Uhr, 19.09.2015

Musste (oder besser durfte) mich davon überzeugen, das Stephans Lösung richtig ist.

Sowohl meine Betrachtung des Einschaltvorgangs als auch meine "Zusammenfassung" der Prozentzahlen waren unverzeihliche Denkfehler, so dass die Folgerung, man könne das mit einer Wachstumsfunktion rechnen, unsinnig ist.
Es geht wirklich nur mit einer Matrix.

Dank an Mathlog für den Hinweis und vor allem an Stephan für die Richtigstellung!

Sorry an Mathigo, für das Chaos, das ICH angerichtet habe.

Wolfgang

Matlog aktiv_icon

08:49 Uhr, 19.09.2015

Eine Frage hab ich noch:

Ist es zu erwarten, dass die Bäume, die im Laufe des Jahres "ausfallen", zur Kastanienernte beitragen?

Stephan4

12:05 Uhr, 19.09.2015

Die Angabe sieht nichts dergleichen vor.

Noch was Anderes zur Angabe:
Wenn man annimmt, dass die restlichen Sämlinge nicht absterben und nächstes Jahr wieder zur Verfügung stehen (was eine Interpretation der Angabe durchaus zulässt), würde die Matrix so aussehen:

M = (\begin{matrix} 0,3 & 0 & 3 \\ 0,7 & 0 & 0 \\ 0 & 0,15 & 0,95 \end{matrix})

Und der Bestand nach

10

Jahren so:

M^{10} \cdot a = (\begin{matrix} 1,515 & 2,007 & 16,417 \\ 0,865 & 1,144 & 9,365 \\ 0,468 & 0,620 & 5,072 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 264 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4334,174 \\ 2472,489 \\ 1338,918 \end{matrix})

also

1338

Bäume statt

974

.

:-)

Matlog aktiv_icon

14:25 Uhr, 19.09.2015

"Die Angabe sieht nichts dergleichen vor. "

Meine (sehr bescheidenen) Kenntnisse der Botanik sagen mir, dass ein verbrannter oder von Schädlingen befallener Baum wohl eher keinen Kastanienertrag mehr liefern werden kann.

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