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Zylinder, Schwerpunkt errechnen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Schwerpunkt, Zylinder

lordofazeroth aktiv_icon

13:38 Uhr, 02.05.2010

Folgender Zylinder ist gegeben:
Dichtefunktion:

ρ = x^{2}

Radius=2
Achse des Zylinders ist die z-Achse und wird von den Ebenen

z = - 1

und

z = 3

beschränkt.

Ich nehme Zylinderkoordinaten,

x = r \cdot cos β

y = r \cdot sin β

z = z

DV=r*dr*d

β \cdot d z

Formel laut Formelbuch:

sz

= \frac{1}{M} \cdot \int_{K} z \cdot ρ

dV

sx und sy sind

0,

wegen Symmetrie.

Masse:

M = \int_{a}^{b} ρ

dV

Ich errechne die Jakobideterminante:
Jakobimatrix:

(\begin{matrix} cos (β) & - r \cdot sin (β) & 0 \\ sin (β) & r \cdot cos (β) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Determinante

= r

M = \int_{z = - 1}^{3} \int_{β = 0}^{2 π} \int_{r = 0}^{2} r^{3} \cdot {cos}^{2} β

d β d z

Als Ergebnis erhalte ich

16

PI.

zs=

\int_{z = - 1}^{3} \int_{β = 0}^{2 π} \int_{r = 0}^{2} z \cdot x^{2}

d β d z

mit

x = r \cdot cos β .

Als zs Erhalte ich

\frac{2}{3} .

Ist das so korrekt?

PS:
Was muss ich mir unter

ρ = x^{2}

vorstellen?
Unten keine Masse, oben Masse

x^{2}

?

Danke :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

lordofazeroth aktiv_icon

15:34 Uhr, 05.05.2010

Habe bei zs eine Multiplikation mit

r

vergessen, resultierend aus der Umwandlung.
Ergebnis:
xs=ys=0
zs=1

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