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Zylinder im Kegel nach Differentialrechnung

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

 
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panda-dani

panda-dani aktiv_icon

18:23 Uhr, 29.06.2015

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Die Aufgabe:

Einem geraden Kreiskegel mit dem Radius 3 cm und der Höhe 5 cm wird ein Zylinder mit maximlaem Volumen einbeschrieben. Bestimmen Sie dieses maximale Volumen. Lösen Sie diese Extremwertaufgabe mit Hilfe der Differentialrechnung.


Also hier mein Ansatz:

V(Kreiskegel)=
V(Zylinder)=

Ich stelle mir vor wie der Radius des Kegels wie ein Zeiger durch seinen Körper fährt. Dabei entsteht eine Halbkugel. Wenn ich den Kegel nun vertikal durchschneide, habe ich ein 2D-Bild. Die Oberfläche des Halbkreises schneidet sich mit dem Mantel des Kegels.

Nun habe ich zwei Variablen und eine gegebene Größe um mittels Phytagoras zu berechnen:




Dieses setze ich in die Formel für das Volumen des Zylinders ein:

V(Zylinder):





Nun will ich das Maximum bestimmen:



Notwendige Bedingung:






Hinreichende Bedingung:


Bed. erfüllt
Maximum bei


jetzt habe ich die Höhe meines Zylinders und kann mit dem Radius des Kegels wieder den Phytagorasanwenden, um den Radius des Zylinders zu bestimmen.








Jetzt habe ich die nötigen Variablen gelöst um diese für das maximale Volumen des Zylinders einzusetzen.




cm^3


Mein Problem hier: Ist das jetzt totaler Bullshit, den ich mir da zusammengereimt habe, oder macht es wirklich Sinn?

Denn mein Problem ist: angenommen, die Höhe des Kegels wäre geringer als sein Radius, dann kann ich das so ganz sicher nicht rechnen. Gibt es eine einfachere Möglichkeit?
Mit Strahlensätzen dürfen wir nicht arbeiten...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

19:39 Uhr, 29.06.2015

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Hallo
ich verstehe nicht wieso du da eine Halbkugel, bzw einen Halbkreis einbeschreibst. Wenn du einen Schnitt durch Kegel und einbeschreibenen Zylinder machst hast du ein Dreieck Grundseite Höhe 5
darin ein Rechteck Grundseite Höhe wenn du von der Spitze aus siehst hast du einen Strahlensatzm der dir die Beziehung zwischn und gibt.
Deinen Pythagoras kann ich nirgends entdecken, auch nicht mit deinem Halbkreis weil ich auch nicht weiss welches und oder und du meinst. wenn das vom Zylinder gemeint ist ist es falsch.
ich sehe jetzt , dass du einfach denkst der Maximale Zylinder ist da, wo die Halbkugel schneidet??
Dass du die Höhe des Kegels gar nicht in deinen Rechnungen hast muss dir doch zu denken geben!
Deine Ergebnisse sind also falsch, den Rechenweg auch.
Gruss ledum


Antwort
steveQ

steveQ aktiv_icon

19:46 Uhr, 29.06.2015

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Kegel R = 3 und H = 5. Restkegel über dem Zylinder r und h. Dann gilt h/r = H/R oder h = 5r/3
Volumen des Zyl. ist V = Pi r²(5 - h) = Pi r²(5 - 5r/3) = 5 Pi (r² - r³/3)
V´(r) = 5 Pi (2r - r²) = 5 Pi r (2 - r). Aus V´= 0 folgt r = 2.
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