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Zylinder in der Kugel

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Tags: Geometrie, Sonstig

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15:05 Uhr, 02.05.2021

Hallo

Die Aufgabe ist als Anhang.

Meine Idee:
Ich stelle die Formel zum berechnen der Mantelfläche vom Zylinder und Kugelfläche gleich:

\frac{1}{2} \cdot 4 π \cdot r^{2} = 2 \cdot π \cdot x \cdot h \Rightarrow x = \frac{r^{2}}{h} \Rightarrow

= π \cdot (\frac{r^{2}}{h}) \cdot h = π \cdot (\frac{r^{2}}{2} r) \cdot 2 \cdot r = \frac{π \cdot r^{3}}{2}

Die Lösung ist aber:

\frac{π \cdot r^{3}}{\sqrt{2}}

Ich weiss nicht, was ich falsch rechne.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

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15:08 Uhr, 02.05.2021

.
"Die Aufgabe ist als Anhang."

\to

NEIN .. deine Aufgabe war nicht anhänglich .. :-)

jetzt ist sie ja da..
.

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15:10 Uhr, 02.05.2021

Hier nochmals der Anhang.

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15:22 Uhr, 02.05.2021

.
" was ich falsch rechne?"

\to

auf den ersten Blick scheint mir, du hast nicht mit der Mantelfläche des Zylinders gerechnet?

ich versuche auch noch zu rechnen ..
.

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15:32 Uhr, 02.05.2021

Die Mantelfläche Formel stimmt. Im letzten Teil hat sich noch ein Abschreibungsfehler eingeschlichen:

{(\frac{r^{2}}{2 \cdot r})}^{2}

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15:53 Uhr, 02.05.2021

.
Ja .. mit

x =

Radius des Zyliderbodens

\frac{1}{2} O_{K} = M_{Z} \to 2 π \cdot r^{2} = 2 π \cdot x \cdot h . .

\Rightarrow x = \frac{r^{2}}{h}

V_{Z} = x^{2} π \cdot h = {(\frac{r^{2}}{h})}^{2} \cdot π \cdot h

und wieso meinst du nun, dass

h = 2 \cdot r

sei ?

so wie ich es sehe ist doch

\to x^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2} = r^{2}

oder ?

dann bekommst du nachher

\to x = \frac{r}{\sqrt{2}} ...

. und

...

h = r \cdot \sqrt{2}

und damit

\to V_{Z} = x^{2} π \cdot h .

\Rightarrow π \cdot \frac{r^{2}}{2} \cdot r \cdot \sqrt{2} = \frac{π \cdot r^{3}}{\sqrt{2}}

ok?
.

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16:16 Uhr, 02.05.2021

Vom Aufgabentext bin ich davon ausgegangen, dass der Kugeldurchmesser auch die Höhe vom Zylinder ist. Ist das nicht so? Zusätzlich kürzt sich ja

h

nicht weg, also muss es ersetzt werden.

x^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2} = r^{2}

Wie bist du den auf das gekommen?

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16:33 Uhr, 02.05.2021

.
" Ist das nicht so?"

ist nun wirklich nicht so, dass die Höhe des in der Kugel stehenden Zylinders gleich dem
Durchmesser der Kugel ist.. dann wäre ja der Zylinder verhungert zum Strich ..

und dazu:
"Wie bist du den auf das gekommen?"

\to

Zeichne dir doch mal einen Mittelschnitt durch den Körper

\to

Grosskreis

(K (M, r)

mit inbeschriebenem Rechteck, Seiten

2 \cdot x

und

h

und lasse das in Gedanken um die zu

2 x

senkrechte Achse a rotieren

(a | | h; a

durch

M)

dann entsteht Kugel mit inbeschriebenem Zylinder .. ok?

Mit dem Pythagoras bekommst du dann

x^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2} = r^{2}

..(siehst du wie ??)
(nebenbei: die weitere Rechnung steht schon oben)

alles klar ?
.

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19:35 Uhr, 03.05.2021

Ich verstehe leider dein Lösungsweg nur teilweise,

z . b

verstehe ich nicht

x 2 + {(\frac{h}{2})}^{2} = r^{2}

. Wenn ich mein Bild anschaue, komme ich hier nicht auf

r^{2}

Ich habe das jetzt wie folgt gemacht:

1. Gleichstellen und nach

x

auflösen:

\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot π \cdot r^{2} = 2 \cdot π \cdot x \cdot h \Rightarrow x = \frac{r^{2}}{h}

2. Skizze erstellt Querschnitt

(s

. Anhang)
Wenn ich das richtig verstehe, dann ist

m

auch der Mittelpunkt vom Körper, wenn der Körper symmetrisch ist oder?

3. Pythagoras um

h

wegzukriegen

3.1 :

ersetze

x

mit

\frac{r^{2}}{h}

h^{2} + {(2 x)}^{2} = {(2 r)}^{2} \Rightarrow h^{2} + 4 \cdot x^{2} = 2 r^{2} \Rightarrow h = \sqrt{2} \cdot r

4.Einfügen in die Volumenformel vom Zylinder

π \cdot (\frac{r^{2}}{r \cdot \sqrt{2}}) \cdot r \cdot \sqrt{2} = \frac{π \cdot \sqrt{2} \cdot r^{3}}{2}

Die Lösung ist nicht wie die Musterlösung, aber das Ergebnis ist das Gleiche.
Ich hoffe mein Lösungsweg stimmt und ich würde auch gerne deiner Verstehen.

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11:43 Uhr, 04.05.2021

.

"und ich würde auch gerne deiner Verstehen."

\to

also dann:
zeichne in deinem Bild noch ein:

\to

den Radius

r = \bar{A E}

und

\to

das Lot von A auf die Seite FE ein ; Lotfusspunkt sei

H

auf FE;

H

ist Mittelpunkt von

h

..ok?

Ich hoffe, du kannst jetzt das Rechtwinklige Dreieck EAH sehen
dessen Seiten sind

\to r = {\bar{A E}}_{}

. ..

\bar{A H} = x_{}

. ..

\bar{H E} = \frac{h}{2}

und wenn du nun den Herrn Pythagoras ausgräbst, dann meldet dieser

\to x^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2} = r^{2}

usw

... .

. kannst du nun meinen Weg verstehen ?

und klar: dein Weg ist genausogut
Dreieck CFE

\to 4 x^{2} + h^{2} = 4 r^{2}_

. ..

(: 4) .

\Rightarrow x^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2} = r^{2}

jetzt alles klar?
.

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