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Zylinder mit aufgesetzten Halbkugeln

Universität / Fachhochschule

Tags: Herstellungskosten, minimal

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14:46 Uhr, 14.03.2012

Ein Behälter hat die Form eines Zylinders mit unten eingefügter Halbkugel und aufgesetzter Halbkugel. Zur Erhöhung der Stabilität ist die untere Halbkugel in das Innere des Behälters gewölbt.
Bei der Herstellung sind die Kosten pro cm^2 für die Halbkugeln 5-mal so hoch wie die Kosten pro cm^2 für den Zylindermantel.
Berechnen Sie die Abmessungen des Behälters, wenn die Kosten für die Herstellung minimal werden sollen und der Behälter

0,5

Liter fassen soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)

prodomo aktiv_icon

15:17 Uhr, 14.03.2012

Das ist eine ganz normale Extremwertaufgabe, die jeder Abiturient lösen müsste. Die Kugelformeln wirst du doch noch wissen...

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20:22 Uhr, 14.03.2012

M = 2 \cdot r \cdot Π \cdot h

O = 2 \cdot r^{2} \cdot Π \cdot h + 4 \cdot r^{2} \cdot Π

V = 4 \cdot r^{3} \cdot \frac{Π}{3}

O = 2 \cdot r^{2} \cdot Π \cdot h + \frac{2 \cdot V}{r}

Der Radius wird aus

V

ausgerechnet und in die Oberflächenformel eingesetzt.
Wie geht es weiter?
Gesamtkosten

= r^{2} \cdot Π \cdot 0,10 + 2 \cdot r \cdot Π \cdot h \cdot 0,03

Edddi aktiv_icon

09:44 Uhr, 15.03.2012

Die Kosten für den Behältermantel erhälst du, in dem du Mantel des Zylinders

M = 2 \cdot π \cdot r \cdot h

und die beiden Oberflächen der Halbkugeln

O = 4 \cdot π \cdot r^{2}

mit den jeweiligen Kostenfaktoren zusammenbringst.

K = M + 5 \cdot O

K = 2 \cdot π \cdot r \cdot h + 5 \cdot (4 \cdot π \cdot r^{2})

K = 2 \cdot π \cdot r \cdot h + 20 \cdot π \cdot r^{2}

Für das Volumen kannst du das Zylindervolumen ranziehen, da ja unten genausoviel fehlt wie oben zukommt (Vorausgesetzt der Behälter wird vollständig gefüllt)

V = π \cdot r^{2} \cdot h \Rightarrow h = \frac{V}{π \cdot r^{2}}

Dies ist deine NB, die du in die Kostenfunktion einsetzen kannst:

K = 2 \cdot π \cdot r \cdot \frac{V}{π \cdot r^{2}} + 20 \cdot π \cdot r^{2}

K = 2 \cdot \frac{V}{r} + 20 \cdot π \cdot r^{2}

bestimme nun über

K' (r) = 0

den Radius

r

für das Minimum. Damit kannst du dann auch noch die Höhe, sowie die Mantelfläche etc. berechnen.

;-)

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10:22 Uhr, 15.03.2012

Könntest du mir noch ein ganz kleines Stück weiterhelfen. Ich komme bei der Radiusbestimmung immer auf eine negative Zahl!

Edddi aktiv_icon

10:52 Uhr, 15.03.2012

K (r) = 2 \cdot \frac{V}{r} + 20 \cdot π \cdot r^{2}

K' (r) = - 2 \cdot \frac{V}{r^{2}} + 40 \cdot π \cdot r

Nun muss

K' (r) = 0

- 2 \cdot \frac{V}{r^{2}} + 40 \cdot π \cdot r = 0

- 2 \cdot V + 40 \cdot π \cdot r^{3} = 0

40 \cdot π \cdot r^{3} = 2 \cdot V

.
.
.

...da MUSS genau EIN positiver reller Wert rauskommen!

;-)

Visocnik aktiv_icon

11:32 Uhr, 15.03.2012

Ich bin dir echt dankbar. Endlich ist eine von 4 Aufgaben gelöst. Vielleicht kannst du mir noch bei den anderen 3 Augabe helfen. Ich weiß, das ist ein bißchen viel verlangt. Aber an wen soll ich mich da sonst wenden? Meine Enkelin müsste diese morgen in der Schule abgeben.
PS: Ich habe beim Differenzieren das Minus vergessen, daher immer der negative Wert! Ist bei mir ja auch schon über

50

Jahr her, dass ich das letzte Mal "differenziert" habe.
Vielen, vielen Dank, für deine Mühe.

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984058

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