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Zylinder parametrisieren

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Integration, Oberflächenintegral, Parametrisieren, parametrisierung, Polarkoordinaten, Zylinder

Manuel91 aktiv_icon

23:02 Uhr, 26.11.2017

Hey Leute, eine ganz kurze und knackige Frage:

Habe meinen Zylinder gegeben den ich mittels Polarkoordinaten parametrisieren soll und dann im Anschluss das Oberflächenintegral bzgl.

\int \int_{F} (\begin{matrix} x + 1 \\ y + z \\ z \end{matrix})

dO berechnen soll:

Z = {(x, y, z) : x^{2} + y^{2} \leq 2, 0 \leq z \leq 1}

Wenn ich nun Boden und Mantel getrennt parametrisiere, stimmen dann folgende Ergebnisse?

Boden

= (\begin{matrix} r \cdot cos (φ) \\ r \cdot sin (φ) \\ 0 \end{matrix});

Mantel

= (\begin{matrix} r \cdot cos (φ) \\ r \cdot sin (φ) \\ 1 \end{matrix})

Integrationsgrenzen bzgl.

r

wären dann von 0 bis

\sqrt{2}

und bzgl.

φ

von 0 bis

2 \cdot π

?

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

ledum aktiv_icon

23:26 Uhr, 26.11.2017

Hallo
wo du Mantel geschrieben hast ist der Deckel
die

z

Koordinate beim Mantel ist

z

oder mit

h 0 \leq h \leq 1

für dO= brauchst du noch die Normalenvektoren,, die beim Mantel radial sind .
Gruß ledum

Manuel91 aktiv_icon

23:46 Uhr, 26.11.2017

Also brauche ich insgesamt 3 Flächen um das Integral zu berechnen? Verstehe.
Und die Normalvektoren wären dann jeweils das Kreuzprodukt

\frac{d x}{d φ}

und dx/dr richtig?

Manuel91 aktiv_icon

23:52 Uhr, 26.11.2017

Das mit den 3 Flächen ist ohnehin logisch wo ich genauer darüber nachdenke, habe das wohl mit dem Fluss verwechselt wo ich nur 2 Flächen brauche.

EDIT:

Ich habe nun meine 3 Flächen parametrisiert. Für Boden und Deckel bilde ich jeweils das Kreuzprodukt

\vec{x} φ x \vec{x} r

und meine Integrationsgrenzen sind

0 \leq r \leq \sqrt{2}

und

0 \leq φ \leq 2 \cdot π

.

Beim Mantel müssten meine Integrationsgrenzen doch folgendermaßen aussehen, ich habe mir überlegt:

0 \leq z \leq 1

und

0 \leq φ \leq 2 \cdot π

. Auch mein Kreuzprodukt ist hier nicht

\vec{x} φ x \vec{x} r

sondern

\vec{x} φ x \vec{x} z

oder irre ich mich da und ich bilde dasselbe Kreuzprodukt wie bei Deckel und Boden? Dieser Punkt fehlt mir noch um das Bsp. zu lösen.

Danke und LG
Manuel

ledum aktiv_icon

11:45 Uhr, 27.11.2017

Hallo
Das Kreuzprodukt aus den Tangenten in den 2 Richtungen ist richtig, aber hier kann man ja den Normalenvektor direkt angeben.
Gruß ledum

Manuel91 aktiv_icon

14:20 Uhr, 27.11.2017

Und das Kreuzprodukt und die Integrationsgrenzen bzgl des Mantels?

Manuel91 aktiv_icon

22:30 Uhr, 28.11.2017

Alles klar, Danke!

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