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a_(n-1) im char. Polynom = spur(A) ???

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Eigenwerte

Matrizenrechnung

Tags: Eigenwert, Matrizenrechnung

Jennifer87 aktiv_icon

16:05 Uhr, 06.12.2011

Hi,

A sei eine

n x n

Matrix und

p (x) = {(- 1)}^{n} \cdot x^{n} + a_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + ... + a_{1} \cdot x + a_{0}

sei das dazugehörige charakteristische Polynom .

Ich soll nun zeigen dass

a_{n - 1} = {(- 1)}^{n - 1} \cdot

spur(A) ist

. .

.

also dass

a_{0}

die Determinante ist konnt ich noch ohne Probleme zeigen aber hier fällt mir leider nix ein

kann mir von euch wer nen tipp geben?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

16:14 Uhr, 06.12.2011

Das charakteristische Polynom ist

det (A - E \cdot X)

. Die Determinante kann man als Summe über Permutationen berechnen:

\sum_{π} {(- 1)}^{s g n (π)} \prod_{i = 1}^{n} (a_{i, π (i)} - e_{i, π (i)} \cdot X)

wobei

e_{i, π (i)}

nur dann

= 1

ist, wenn

π (i) = i,

sonst ist es 0.
Damit zu einem

π

das Produkt Grad

\geq n - 1

hat, muss also für mindestens

n - 1

Indizes

i

gelten, dass

π (i) = i

. Aber dann muss bereits

π = i d

sein.
Es geht also allein um den Koeffizienten von

X^{n - 1}

im Ausdruck

\prod_{i = 1}^{n} (a_{i, i} - X)

.
Beim Ausmultiplizieren entsteht

X^{n - 1}

genau dann, wenn

n - 1

mal der zweite und einmal der erste Summand der Klammer genommen wird. Für welches

i

der erste Summand genommen wird ist beliebig, es ergibt sich jeweils

a_{i, i} \cdot {(- X)}^{n - 1}

und insgesamt

\sum_{i = 1}^{n} a_{i, i} {(- X)}^{n - 1} = {(- 1)}^{n - 1} \cdot s p u r (A) \cdot X^{n - 1}

Jennifer87 aktiv_icon

16:19 Uhr, 06.12.2011

Danke

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