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a,...,a_n>0 und a*..*a_n=1 -> a+...a_n=n

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Tags: Abschätzung, Sonstig, Summen

 
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RM777

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22:06 Uhr, 20.02.2019

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Guten Abend

Es handelt sich um Aufgabe 3 Kapitel 2 Königesberger Analysis 1

Zu zeigen ist wenn a1,...,an>0 und das Produkt a1**an=1 dann akn

Ich zitiere den Beweis, ich habe ihn zum größten Teil verstanden nur der Teil wo man beweist, dass die Gleichheit bei der Abschätzung genau dann gilt wenn alle ak=1 sind habe ich nicht verstanden.

Beweis, Zitat:

Die Behauptung gilt für n=1. Für den Schluss von n auf n+1 betrachten wir o.B.d.A den FAll (*)an1an+1 und wenden die Induktionsannahme auf das n-Tupel a1,...,an-1,anan+1 an. Aus (*) folgt an+xn+11+anan+1 (wegen (1-an)(an+1)0) und mit der Induktionsannahme weiter

a1+...+an+an+1a1+....+an-1+anan+1+1n+1.

Das Gleichheitszeichen gilt nur im Fall an+an+1=1+anan+1.

HIER bräuchte ich eine Begründung, auch im Zusammenhang mit der Induktion, also warum reicht es hier eine Aussage über die letzten beiden Koeffizienten zu treffen um eine Aussage über die komplette Summe zu machen?

D.h nur im Fall an=1 oder an+1=1. Es sei etwa an+1=1. Dann dolgt a1*..*an=1 und a1+....an=n

Diese Gleichheit verstehe ich nicht: ich schaue mir den Term

a1+...+an+an+1a1+....+an-1+anan+1+1n+1.

an. Und ich setzte die Erste Ungleichung gleich. Warum wird dann auch die letzte Ungleichung gleich?

und damit a1==an=an+1=1.

Diesen TEil verstehe ich auch nicht.

Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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HAL9000

HAL9000

09:30 Uhr, 21.02.2019

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Leider hast du in deinem Zitat die entscheidende Formel verstümmelt:

Für an1an+1 gilt (1-an)(an+1-1)0, und das ergibt ausmultipliziert und umgestellt an+an+11+anan+1, weiter wie in deinem Text.


> HIER bräuchte ich eine Begründung, auch im Zusammenhang mit der Induktion, also warum reicht es hier eine Aussage über die letzten beiden Koeffizienten zu treffen um eine Aussage über die komplette Summe zu machen?

Tatsächlich gilt i.a. NICHT an1an+1, aber man kann durch "o.B.d.A."-Umsortieren erreichen, dass die letzten beiden Summanden diese Eigenschaft haben:

Warum darf man überhaupt umsortieren? Weil sowohl linke als auch rechte Seite der Behauptung wertemäßig unempfindlich gegenüber Umsortierung der a1,,an+1 sind.

Warum gibt es nun unter den n+1 Werten einen 1 und einen anderen 1 ? Nun, das sieht man leicht indirekt: Findet man kein solches Paar, dann entweder wegen ak<1 für alle k oder aber wegen ak>1 für alle k. Beides widerspricht aber der Voraussetzung a1a2anan+1=1.


Auch bei der Gleichheitsbetrachtung kann man wieder mit der obigen Vertauschung argumentieren. Das ganze ist eigentlich ein eigener Induktionsbeweis für die Behauptung "k=1nak=n gilt genau dann, wenn a1==an=1".

Im dortigen Induktionsschritt nn+1 nehmen wir erstmal wieder das oben ausführlich begründete an1an+1 an (evtl. eben erst durch Vertauschung erreichbar). Nun sind für k=1n+1an+1=n+1 wegen der obigen Ungleichungskette zwei Dinge erforderlich:

1) Gleichheit in der Induktionsvoraussetzungsungleichung. Die wurde ja hier auf a1,,an-1,anan+1 angewandt, also muss laut dieser Induktionsvoraussetzung a1=a2==an-1=1 gelten, sowie auch noch anan+1=1 .

2) Außerdem muss noch (1-an)(an+1-1)=0 gelten, das bedeutet an=1 oder an+1=1. Zusammen mit anan+1=1 bedeutet dies aber, dass tatsächlich BEIDE =1 sein müssen.

Damit ist auch dieser Induktionsschritt komplett.

RM777

RM777 aktiv_icon

10:40 Uhr, 21.02.2019

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Zitat:

Auch bei der Gleichheitsbetrachtung kann man wieder mit der obigen Vertauschung argumentieren. Das ganze ist eigentlich ein eigener Induktionsbeweis für die Behauptung "k=1nak=n gilt genau dann, wenn a1=an".

Im dortigen Induktionsschritt nn+1 nehmen wir erstmal wieder das oben ausführlich begründete an1an+1 an (evtl. eben erst durch Vertauschung erreichbar). Nun sind für k=1n+1ak=n+1 wegen der obigen Ungleichungskette zwei Dinge erforderlich:

1) Gleichheit in der Induktionsvoraussetzungsungleichung. Die wurde ja hier auf a1,...,an-1,anan+1 angewandt, also muss laut dieser Induktionsvoraussetzung a1=a2==an-1=1 gelten, sowie auch noch anan+1=1.

Zitat Ende

Mir sind noch einige Sachen unklar : Unsere Induktionshypothese lautet wenn wir ein n- Zahlen haben die größer als 0 sind und das Produkt dieser n- Zahlen gleich 1 ist und die Summe der n Zahlen =n ist dann sind auch alle n- Zahlen gleich 1.
Und umgekehrt wenn wir =1 haben für n Zahlen dann ist die Summe n und das Produkt dieser n Zahlen gleich 1.

Im Induktionsschritt müssen wir jetzt beide Seiten beweisen. Die letztere Behauptung sieht man sofort.

Bei der ersten Behauptung sind wir in der Ausgangssituation n+1 verschiedene Zahlen alle größer 0, Produkt 1 und Summe =n+1 Jetzt wissen wir, dass an1an+1 gilt. Deswegen auch an+an+11+anan+1 und dann haben wir die Ungleichung
k=1n-1ak+anan+1+1k=1n+1ak=n+1

Dann haben wir

k=1n-1ak+anan+1n

Wir können also die Induktionsvoraussetzung nicht verwenden wir haben zwar ak>0 Produkt von a1.an-1anan+1=1 aber uns fehlt die Voraussetzung, dass die Summe =n ist. Kannst du mir helfen diesen letzten Wiederspruch aufzulösen? Den Rest deines Beweises habe ich verstanden.


Antwort
HAL9000

HAL9000

11:24 Uhr, 21.02.2019

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Eigentlich steht alles schon bei mir oben da, aber Ok, das ganze nochmal ausführlicher mit vielleicht etwas anderen Worten:

Die Induktionsvoraussetzung für diesen zweiten Beweis sagt, dass aus

b1bn=1 mit k=1nbk=n sofort b1==bn=1 folgt.

Wir wollen nun im Induktionsschritt nn+1 ergründen, was im Fall a1anan+1=1 mit k=1n+1ak=n+1 passiert. Dazu nehmen wir wie oben o.B.d.A. an1an+1 an, setzen b1=a1,b2=a2,,bn-1=an-1 sowie bn=anan+1. Dann wissen wir aus dem ersten obigen Beweis, dass

n+11+k=1nbk=1+k=1n-1ak+anan+1k=1n+1ak(*)

gilt. Damit tatsächlich Gleichheit n+1=k=1n+1ak herrscht, müssen in dieser Ungleichungskette BEIDE zu = werden. Das erste wird laut Induktionsvoraussetzung unseres zweiten Beweises zu = genau dann wenn b1==bn=1 ist, das bedeutet rückübersetzt a1==an-1=1 sowie anan+1=1. Das zweite wird genau dann zu =, falls (1-an)(an+1-1)=0 wird, und das wiederum bedeutet nach Satz vom Nullprodukt ("Ein Produkt ist Null genau dann wenn mindestens einer der Faktoren Null ist") dass an=1 ODER an+1=1 ist.

Durch das eben festgestellte ebenfalls geltende anan+1=1 wird aus diesem ODER aber tatsächlich ein UND: Wenn ein Faktor =1 ist und das Produkt ebenfalls =1, dann bleibt für den anderen Faktor gar nichts anderes mehr übrig als ebenfalls =1 zu sein.

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Oder um auf deinen Einwurf konkret einzugehen:

> Wir können also die Induktionsvoraussetzung nicht verwenden

Das stimmt insofern nicht, da wir ja aus der ursprünglichen ersten Behauptung zusätzlich wissen, dass die Ungleichung auch in der anderen Richtung gilt, d.h.

k=1n-1ak+anan+1n.

Das macht zusammen k=1n-1ak+anan+1=n, womit dann also doch die Induktionsvoraussetzung des zweiten Beweises angewandt werden darf.

Frage beantwortet
RM777

RM777 aktiv_icon

23:25 Uhr, 21.02.2019

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Ich habe es jetzt verstanden. Vielen Dank.