RM777
22:06 Uhr, 20.02.2019
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Guten Abend
Es handelt sich um Aufgabe 3 Kapitel 2 Königesberger Analysis 1
Zu zeigen ist wenn und das Produkt dann
Ich zitiere den Beweis, ich habe ihn zum größten Teil verstanden nur der Teil wo man beweist, dass die Gleichheit bei der Abschätzung genau dann gilt wenn alle sind habe ich nicht verstanden.
Beweis, Zitat:
Die Behauptung gilt für . Für den Schluss von auf betrachten wir o.B.d.A den FAll und wenden die Induktionsannahme auf das n-Tupel an. Aus folgt (wegen und mit der Induktionsannahme weiter
Das Gleichheitszeichen gilt nur im Fall .
HIER bräuchte ich eine Begründung, auch im Zusammenhang mit der Induktion, also warum reicht es hier eine Aussage über die letzten beiden Koeffizienten zu treffen um eine Aussage über die komplette Summe zu machen?
D.h nur im Fall oder . Es sei etwa . Dann dolgt und
Diese Gleichheit verstehe ich nicht: ich schaue mir den Term
an. Und ich setzte die Erste Ungleichung gleich. Warum wird dann auch die letzte Ungleichung gleich?
und damit
Diesen TEil verstehe ich auch nicht.
Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Leider hast du in deinem Zitat die entscheidende Formel verstümmelt:
Für gilt , und das ergibt ausmultipliziert und umgestellt , weiter wie in deinem Text.
> HIER bräuchte ich eine Begründung, auch im Zusammenhang mit der Induktion, also warum reicht es hier eine Aussage über die letzten beiden Koeffizienten zu treffen um eine Aussage über die komplette Summe zu machen?
Tatsächlich gilt i.a. NICHT , aber man kann durch "o.B.d.A."-Umsortieren erreichen, dass die letzten beiden Summanden diese Eigenschaft haben:
Warum darf man überhaupt umsortieren? Weil sowohl linke als auch rechte Seite der Behauptung wertemäßig unempfindlich gegenüber Umsortierung der sind.
Warum gibt es nun unter den Werten einen und einen anderen ? Nun, das sieht man leicht indirekt: Findet man kein solches Paar, dann entweder wegen für alle oder aber wegen für alle . Beides widerspricht aber der Voraussetzung .
Auch bei der Gleichheitsbetrachtung kann man wieder mit der obigen Vertauschung argumentieren. Das ganze ist eigentlich ein eigener Induktionsbeweis für die Behauptung " gilt genau dann, wenn ".
Im dortigen Induktionsschritt nehmen wir erstmal wieder das oben ausführlich begründete an (evtl. eben erst durch Vertauschung erreichbar). Nun sind für wegen der obigen Ungleichungskette zwei Dinge erforderlich:
1) Gleichheit in der Induktionsvoraussetzungsungleichung. Die wurde ja hier auf angewandt, also muss laut dieser Induktionsvoraussetzung gelten, sowie auch noch .
2) Außerdem muss noch gelten, das bedeutet oder . Zusammen mit bedeutet dies aber, dass tatsächlich BEIDE =1 sein müssen.
Damit ist auch dieser Induktionsschritt komplett.
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RM777
10:40 Uhr, 21.02.2019
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Zitat:
Auch bei der Gleichheitsbetrachtung kann man wieder mit der obigen Vertauschung argumentieren. Das ganze ist eigentlich ein eigener Induktionsbeweis für die Behauptung " gilt genau dann, wenn ".
Im dortigen Induktionsschritt nehmen wir erstmal wieder das oben ausführlich begründete an (evtl. eben erst durch Vertauschung erreichbar). Nun sind für wegen der obigen Ungleichungskette zwei Dinge erforderlich:
1) Gleichheit in der Induktionsvoraussetzungsungleichung. Die wurde ja hier auf angewandt, also muss laut dieser Induktionsvoraussetzung gelten, sowie auch noch .
Zitat Ende
Mir sind noch einige Sachen unklar : Unsere Induktionshypothese lautet wenn wir ein Zahlen haben die größer als sind und das Produkt dieser Zahlen gleich ist und die Summe der Zahlen ist dann sind auch alle Zahlen gleich . Und umgekehrt wenn wir haben für Zahlen dann ist die Summe und das Produkt dieser Zahlen gleich .
Im Induktionsschritt müssen wir jetzt beide Seiten beweisen. Die letztere Behauptung sieht man sofort.
Bei der ersten Behauptung sind wir in der Ausgangssituation verschiedene Zahlen alle größer , Produkt und Summe Jetzt wissen wir, dass gilt. Deswegen auch und dann haben wir die Ungleichung
Dann haben wir
Wir können also die Induktionsvoraussetzung nicht verwenden wir haben zwar Produkt von aber uns fehlt die Voraussetzung, dass die Summe ist. Kannst du mir helfen diesen letzten Wiederspruch aufzulösen? Den Rest deines Beweises habe ich verstanden.
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Eigentlich steht alles schon bei mir oben da, aber Ok, das ganze nochmal ausführlicher mit vielleicht etwas anderen Worten:
Die Induktionsvoraussetzung für diesen zweiten Beweis sagt, dass aus
mit sofort folgt.
Wir wollen nun im Induktionsschritt ergründen, was im Fall mit passiert. Dazu nehmen wir wie oben o.B.d.A. an, setzen sowie . Dann wissen wir aus dem ersten obigen Beweis, dass
gilt. Damit tatsächlich Gleichheit herrscht, müssen in dieser Ungleichungskette BEIDE zu werden. Das erste wird laut Induktionsvoraussetzung unseres zweiten Beweises zu = genau dann wenn ist, das bedeutet rückübersetzt sowie . Das zweite wird genau dann zu , falls wird, und das wiederum bedeutet nach Satz vom Nullprodukt ("Ein Produkt ist Null genau dann wenn mindestens einer der Faktoren Null ist") dass ODER ist.
Durch das eben festgestellte ebenfalls geltende wird aus diesem ODER aber tatsächlich ein UND: Wenn ein Faktor =1 ist und das Produkt ebenfalls =1, dann bleibt für den anderen Faktor gar nichts anderes mehr übrig als ebenfalls =1 zu sein.
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Oder um auf deinen Einwurf konkret einzugehen:
> Wir können also die Induktionsvoraussetzung nicht verwenden
Das stimmt insofern nicht, da wir ja aus der ursprünglichen ersten Behauptung zusätzlich wissen, dass die Ungleichung auch in der anderen Richtung gilt, d.h.
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Das macht zusammen , womit dann also doch die Induktionsvoraussetzung des zweiten Beweises angewandt werden darf.
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RM777
23:25 Uhr, 21.02.2019
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Ich habe es jetzt verstanden. Vielen Dank.
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