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abelsche Gruppe => Homomorphismus

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen

student11 aktiv_icon

22:59 Uhr, 20.06.2012

Hallo zusammen

Ich habe folgende Aussage zu beweisen:

G

abelsch

\Leftrightarrow f : G \to G x \to - x

(additiv geschrieben) ein Homomorphismus ist

Komme da mit dem Beweis nicht mehr weiter..

\Rightarrow

Sei

G

abelsch, es gilt also, dass

x + y = y + x

und

f (x) + f (y) = f (y) + f (x)

\Leftrightarrow - x + - y = - y + - x

f (x) + f (y) = - x - y = - (x + y) = f (x + y)

aber hier habe ich ja nirgends verwendet, dass die Gruppe abelsch ist?? Ich verwende nur Assoziativität und Distributivität?)

< =

Sei also

x \to - x

ein Homomorphismus..

Es gilt also, dass

f (x + y) = - (x + y) = - x - y = f (x) + f (y)

??

Kann mir jemand da weiterhelfen? Ich weiss gar nicht wie anfangen...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

23:14 Uhr, 20.06.2012

Beachte:
Im Allgemeinen (und wenn ich die Gruppe lieber nicht abelsch schreibe) gilt lediglich

{(x \cdot y)}^{- 1} = y^{- 1} \cdot x^{- 1}

Distributivität kannst du ohnehin nicht verwenden - die gibt es in einer Gruppe nämlich im Allgemeinen nicht!

-

Und

f : G \to G, g \mapsto e

ist zwar für jede Gruppe ein Homomorphismus, jedoch im Allgemeinen kein Isomorphismus.

student11 aktiv_icon

23:25 Uhr, 20.06.2012

oh, ok.. Distributivität kann es gar nicht im Allgemeinen geben, da es in einer Gruppe nur eine Operation gibt, richtig?

Also versuch ich das nochmals..

G

abelsch

\Leftrightarrow f : G \to G

mit

f (g) = - g

ein homomorphismus

Sei also

G

abelsch, es gilt also, dass

x + y = y + x,

ich möchte gerne zeigen, dass

f (x) + f (y) = f (x + y)

f (x) + f (y) = f (y) + f (x) = (- y) + (- x) = - (x + y) = f (x + y),

wobei ich im ersten Schritt Kommutativität verwende und im letzten, das, was du gerade genannt hast in deinem Beitrag..
Also ist es ein Homomorphismus..

Nun sein

f

ein Homomorphismus. Es gilt also, dass

f (x) + f (y) = f (x + y)

f (x) + f (y) = (- x) + (- y)

f (x) + f (y) = f (x + y) = - (x + y) = (- y) + (- x)

\Rightarrow (- x) + (- y) = (- y) + (- x)

\Rightarrow (- y) = x + (- y) + (- x)

\Rightarrow 0 = y + x + (- y) + (- x)

\Rightarrow x = y + x + (- y)

\Rightarrow x + y = y + x

KOrrekt so?

student11 aktiv_icon

23:34 Uhr, 20.06.2012

Wie würde man denn folgendes beweisen:

H

G

isomorph

\Rightarrow (G

abelsch

\Leftrightarrow H

abelsch)

Sei

G

abelsch und

f : G \to H

ein Isomorphismus..

\forall x, y \in G : x + y = y + x = : z, f (z) = f (x + y) = f (y + x)

f (x + y) = f (x) + f (y)

und

f (y + x) = f (y) + f (x)

\Rightarrow f (x) + f (y) = f (y) + f (x)

f

ein Isomorphismus ist, ist

f

also insbesondere surjektiv, und somit wird jedes Element in

H

erreicht, somit gilt obiges für alle elemente..

Kann so argumentiert werden?

In die andere Richtung analoger Beweis.

hagman aktiv_icon

00:02 Uhr, 21.06.2012

Im Prinzip ganz genau,allerdings würde ich es für meinen Geschmack anders aufrollen:
Sei

f : G \to H

ein Epimorphismus und

G

abelsch.
Behauptung: Dann ist

H

abelsch.
Zum Beweis seien

x, y \in H

beliebig.
Dann gibt es

u, v \in G

mit

f (u) = x, f (v) = y

.
Es folgt

x \cdot y = f (u) \cdot f (v) = f (u \cdot v) = f (v \cdot u) = f (v) \cdot f (u) = y \cdot x

.

Dies zeigt: Ist

f : G \to H

Epimorphismus, so gilt:

G

abelsch

\Rightarrow H

abelsch
Da bei isomorphen Gruppen in jede Richtung ein Epimorphismus existiert, folgt für isomorphe Gruppen sogar:

G

abelsch

\Leftrightarrow H

abelsch.

student11 aktiv_icon

00:17 Uhr, 21.06.2012

Dein Beweis gefällt mir ein wenig besser als meiner :-D) Dankeschön..

Noch eine weitere Frage:
Gibt es einen "einfachen" Beweis dafür, dass jede Gruppe mit Ordnung

p^{2}

für

p

eine Primzahl abelsch ist?

Ich weiss, dass jede Gruppe mit Primzahl-Ordnung zyklisch und also insbesondere abelsch ist, denn wenn ord(G)=p, dann gilt da

p > 1 \exists g \in G : g \neq e,

und ord(g) | ord(G)=p (Lagrange), somit muss ord(g)=p sein, also erzeugt

g

die Gruppe

G, G

ist also zyklisch und abelsch, da mit dem Generator

g

gilt:

f : Z \to G

mit

x \to g^{x}

(nun multiplikativ geschrieben) ein isomorphismus
seien

a, b \in G \Rightarrow \exists x, y \in Z : g^{x} = a

und

g^{y} = b, a \cdot b = g^{x} \cdot g^{y} = g^{x + y} = g^{y + x} = g^{y} \cdot g^{x} = b + a

Gilt dies auch für unendliche Gruppen?

Naja, und jetzt auf eine Gruppe der Ordnung

p^{2}

angewendet:
Sei

G

eine Gruppe mit Ordnung

p^{2}, \exists x \in G : x \neq e,

ord(x)|p^2, also kann ord(x)=p oder ord(x)=p^2 sein, da

x \neq e .

.

Fall

1)

ord(x)=p, dann gilt

x

ist kein Generator von

G \Rightarrow

....??
Fall

2)

ord(x)=p^2, dann ist

x

ein Generator,

G

zyklisch und somit abelsch

Hier komm ich nicht mehr weiter..

Auch Probleme macht mir folgendes:
Wieso sind alle Untergruppen einer zyklischen Gruppe zyklisch und wehsalb weiss ich bei zyklischen Gruppen, dass jeder Teiler der Gruppenordnung auch als Untergruppenor

hagman aktiv_icon

00:50 Uhr, 21.06.2012

ℤ \to G, x \mapsto g^{x}

ist immer ein Homomorphsimus (nicht Iso!), egal, wie groß

G

ist und welches

g \in G

man wählt.

student11 aktiv_icon

08:55 Uhr, 21.06.2012

Oh.. Wie muss ich denn meine "Beweise" umformulieren? Klappt es trotzdem, auch wenn es nur ein Homomorphismus ist?

hagman aktiv_icon

14:37 Uhr, 22.06.2012

Ich hatte mich im vorigen Post eigentlich nur auf die Frage "Gilt dies auch für unendliche Gruppen?" bezogen (und einen Formulierungsfehler Iso/Homo).

Dein Fall

2)

ist ja auch in Ordnung: Wenn auch nur ein Element Ordnung

p^{2}

hat, ist

G

zyklisch und abelsch.

Fall

1)

bedeutet, dass (außer

e)

jedes Element Ordnung

p

hat und eine Untergruppe der Ordnung

p

erzeugt. Und das müsste noch ein webig elaboriert werden.

Und zu deinen Zusatzfragen:
Wieso sind Untergruppen zyklischer Gruppen zyklisch?
Eine zyklische Gruppe

G = 〈 g 〉

ist stets per

φ : ℤ \to G, n \mapsto g^{n}

epimorphes Bild von

ℤ

.
Für jede Untergruppe

H < G

ist

φ^{- 1} (H)

Untergruppe von

ℤ,

als solche von der Form

m ℤ

mit

m \in ℕ_{0},

woraus wiederum folgt, dass

H

von

φ (m) = g^{m}

erzeugt wird.
Ist

G

zyklisch von endlicher Ordnung

n,

so ist

G

isomorph zu

ℤ / n ℤ

. Für jeden Teiler

d

von

n

hat die von

\frac{n}{d} + n ℤ

erzeugte Untergruppe Ordnung

d

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