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abgeschlossene Menge Funktionen mit Supremum <= 1

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Maßtheorie

Tags: Abgeschlossenheit, Beschränktheit, Funktion, Maßtheorie, offene menge, supremumsnorm

 
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Hinata

Hinata aktiv_icon

21:18 Uhr, 19.05.2022

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Hallo, ich möchte folgende Menge auf Abgeschlossenheit prüfen, indem ich beweise, dass die Differenzmenge offen ist. Ich habe mal meinen Versuch angefügt, aber bin mir unsicher ob man das so machen darf, daher wäre ich sehr dankbar wenn da jemand mal drüber gucken könnte und mir meine Fehler aufzeigen könnte.
DANKE

Aufgabe Abgeschlossenheit
Screenshot 2022-05-19 at 21.18.09

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

10:57 Uhr, 20.05.2022

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Grundsätzlich ok, aber etwas unsauber geschrieben aus meiner Sicht.

Ich würde so schreiben.
Sei M2=B()\M.
Wir zeigen, dass M2 offen ist.
Sei f beliebig aus M2. Dann gilt f>1. Sei ε=0.5(f-1).
Wenn g beliebig aus der ε-Umgebung von f, dann gilt
f-g<ε => gf-f-g>f-ε=0.5(f+1)>0.5(1+1)=1, also gM2.
Also die ganze ε-Umgebung von f liegt in M2. Damit ist M2 offen.
Daraus folgt, dass M abgeschlossen in B() ist.

Übrigens, M2 ist keine "Differenzmenge", solange du nicht sagst, Differenz von welchen 2 Mengen gemeint ist. Ich würde lieber Komplementärmenge schreiben. Oder gar nichts.
Frage beantwortet
Hinata

Hinata aktiv_icon

11:43 Uhr, 20.05.2022

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Stimmt, das sieht deutlich besser aus. Vielen Dank!