Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » abschluss(AxB)=abschluss(a) x abschluss(b)

abschluss(AxB)=abschluss(a) x abschluss(b)

Universität / Fachhochschule

Funktionentheorie

Tags: Funktionentheorie

ole1988 aktiv_icon

22:17 Uhr, 08.05.2012

Seien

A, B \subset R

bel. Teilmengen.
zu zeigen: Abschluss von (AxB)= Abschluss(A)

x

Abschluss(B)

ich weiß ich muss ein

ɛ > 0

vorlegen.
Aber wie man das mathematisch exakt beweist, das ist meine Frage:

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

12:52 Uhr, 09.05.2012

Das gilt allgemein für topologische Räume, aber ihr bestrachte vermutlich zurzeit ohnehin nur

ℝ

mit Epsilontik.

Sei

(x, y) \in \bar{A \times B}

. Dann gibt es eine Folge von Punkten

(x_{n}, y_{n}) \in A \times B

mit

(x_{n}, y_{n}) \to (x, y)

. Das ist per Definition glichbedeutend mit

x_{n} \to x

und

y_{n} \to y

.
Da die

x_{n} \in A

und die

y_{n} \in B

liegen, folgt

x \in \bar{A}

und

y n \bar{B},

also

(x, y) \in \bar{A} \times \bar{B}

.

Sei umgekehrt

(x, y) \in \bar{A} \times \bar{B},

also

x \in \bar{A}

und

y \in \bar{B}

.
Dann gibt es Folgen

(x_{n}), (y_{n})

mit

x_{n} \in A, y_{n} \in B, x_{n} \to x, y_{n} \to y

.
Die Folge

(x_{n}, y_{n})

konvergiert dann gegen

(x, y)

und jedes Folgenglied liegt in

A \times B

. Also gilt

(x, y) \in \bar{A \times B}

1000789

1000653

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?