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absolute konvergenz

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

Dickie123 aktiv_icon

10:43 Uhr, 02.12.2019

Hallo

Wir sollen folgende Reihe auf konvergenz und absolute konvergenz untersuchen.

\sum_{k = 1}^{\infty}

}

((-1)^(k-1)

\cdot (\frac{k}{k^{2} + 1})

Ich glaube ich weiß was rauskommen muss, aber ich kann es irgendwie nicht errechnen.

Habe es mit dem Wurzelkriterium gemacht, da kam 1 raus. Also ist keine Aussage möglich.

Ich wollte das dann nach dem Quotientenkriterium berechnen, aber irgendwie scheitere ich da gerade ich habe |(ak+1)/ak|

= | \frac{\frac{k + 1}{k^{2} + 2}}{\frac{k}{(k^{2} + 1) k}} |

Wäre das so richtig? Irgendwie bekomme ich das aber nciht ausgerechnet. Ich vermute da muss wieder 1 rauskommen, damit man wieder sagen kann, dass es keine Aussage gibt, damit man es dann mit dem Majorantenkriterium berechnen kann.

Kann mir jemand weiterhelfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

10:47 Uhr, 02.12.2019

Hallo,

die Reihe ist ja alternierend.
Klar, wenn sie absolut konvergent wäre, dann wäre sie auch (einfach) konvergent.
Dass sie NICHT absolut konvergiert, kann man durch Abschätzung gegen die harmonische Reihe feststellen.
Dass die (einfach) konvergiert, stellt man mit dem für solche Fälle wie geschaffenen Kriterium fest.

Jetzt du wieder.

Mfg Michael

ermanus aktiv_icon

10:48 Uhr, 02.12.2019

Hallo,
eine divergente Vergleichsreihe ist z.B. die harmonische Reihe.
Gruß ermanus

P.S.: Hallo Michael, du hast wieder gewonnen :-)

Dickie123 aktiv_icon

11:02 Uhr, 02.12.2019

Ich hätte das dann so weiter gemacht

\frac{k}{k^{2} + 1}

≤

\frac{1}{k^{2} + 1}

≤

\frac{1}{k^{2}}

Hätte jetzt gesagt, da diese Aussage stimmt bzw konvergiert, konvergiert auch die ursprüngliche Reihe

ermanus aktiv_icon

11:20 Uhr, 02.12.2019

Glaubst du wirklich an diese Ungleichungen ?

Dickie123 aktiv_icon

11:56 Uhr, 02.12.2019

Ok ich merke auch gerade das die erste Ungleichung vollkommener Quatsch ist

ermanus aktiv_icon

12:22 Uhr, 02.12.2019

Das ist wohl wahr ;-)
Kannst du vielleicht hiermit etwa anfangen:

\frac{k}{k^{2} + 1} \geq \frac{k}{k^{2} + k^{2}}

pwmeyer aktiv_icon

12:35 Uhr, 02.12.2019

Hallo,

noch eine Nebenbemerkung:

D

hat eingangs den Quotienten für das Quotientenkriterium falsch aufgestellt. Das ist zwar für die Aufgabe irrelevant, sieht aber eventuell nach einem systematischen Fehler aus und sollte von

D

noch mal überdacht werden.

Gruß owm

Dickie123 aktiv_icon

13:10 Uhr, 02.12.2019

hm ok, ne habe keine ahnung gerade. Kenne das immer nur, dass man langsam die

k s

wegstreicht..sorry weiß gerade nicht, wie ich das erklären soll... und das dann so versucht.

Aber ja das deine ungleichung stimmt kann ich nachvollziehen. Aber wieso man das so macht, kann ich gerade nicht nachvollziehen

ermanus aktiv_icon

13:17 Uhr, 02.12.2019

Das, was da nun rechts steht, ist doch