Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » abzählbare Basis, abz. dichte Teilmenge

abzählbare Basis, abz. dichte Teilmenge

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: Mengentheoretische Topologie

Clemensum aktiv_icon

23:08 Uhr, 25.07.2012

Beweisen Sie folgendes Lemma:
Für einen metrischen Raum

X

sind äquivalent:
(i) Topologie von

X

besitzt abzählbare Basis
(ii)

X

besitzt abzählbar dichte Teilmenge

(

\Rightarrow

)

\forall \emptyset \neq U_{i} \in ℬ : x_{i} \in U_{i}, i \in I, I

abz.

\Rightarrow M := {x_{i} ∣ i \in I}

dicht in

X,

denn sei

U \subseteq X

eine bel. offene Menge. Da

U

Vereinigung von offenen Mengen aus

ℬ

ist,

\exists i \in I : U_{i} \subseteq U \Rightarrow x_{i} \in U .

(\Leftarrow) :

Sei

x_{i}, i \in I

eine abz. Familie von Punkten für die M (wie oben) dicht in

X

ist. Seien

U \subseteq X

offen und bel.,

x \in U . \Rightarrow \exists m \in ℕ : B (x, \frac{1}{m}) \subseteq U .

In der offenen Kugel

B (x, \frac{1}{2 m})

liegt ein Punkt

x_{i}

von

M . \Rightarrow x \in B (x_{i}, \frac{1}{2 m}) \subseteq B (x, \frac{1}{m}) \subseteq U

So, wie kann ich nun zeigen, dass sich jedes

U \subseteq X

als Vereinigung von Mengen der Form

B (x_{i}, \frac{1}{n})

(

n \in ℕ

) darstellen lässt? Ich bin ja ganz in der Nähe, mir fehlt jedoch der letzte entscheidene Schritt. Ich weiß nicht, wie ich das formal begründen soll. Außerdem weiß ich nicht genau, wie ich begründen soll, dass

B (x_{i}, \frac{1}{2 m}) \subseteq B (x, \frac{1}{m}) .

Mir ist das intutiv klar, aber ich kann es nicht stichhaltig begründen; da

M

dicht in

X

liegt, wissen wir, dass in jeder Umgebung eines Elementes aus

X

auch einer der

x_{i}

liegt, also liegt

x_{i}

auch in

B (x, \frac{1}{m}) .

Das heißt aber (jetzt rein formal gesehen) nicht, dass auch zwangsläufig dann eine Umgebung um dieses

x_{i}

mit der Hälfte des Radius automatisch vollständig enthalten ist; es könnte ja ganz knapp am Rand liegen...

Weiß hier jemand weiter?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

hagman aktiv_icon

23:17 Uhr, 25.07.2012

Ist

U

offen, so ist

U = ⋃ {B (x_{i}, \frac{1}{n}) | B (x_{i}, \frac{1}{n}) \subseteq U}

.
Für die neihcttriviale Teilmengenrichtung betrachte

x \in U

.
Dann

B (x, ε) \subseteq U

für ein

ε > 0

.
Wähle ein

x_{i} \in B (x, \frac{1}{n})

mit

\frac{1}{n} < \frac{1}{2} ε

. Dann ist

x \in B (x_{i}, \frac{1}{n})

Clemensum aktiv_icon

10:50 Uhr, 26.07.2012

Hallo Hagman!

Erstmal, danke für deine gestrige Antwort!

Ich hätte jedoch ein paar Rückfragen:

Wie kann ich einsehen, dass

⋃_{i} {B (x_{i}, \frac{1}{n}) ∣ B (x_{i}, \frac{1}{n}) \subseteq U}

gilt? Aus welcher Tatsache folgt diese Aussage, ich kann momentan die Gültigkeit leider nicht einsehen.

Okay, es ist klar,

\exists ε > 0 : B (x, ε) \subseteq U .

Aber, ich frage mich, wieso man denn nicht z.B.

\frac{1}{n} < 9 / 10 ε

oder gar

< ε

wählen kann? Dann müsste doch noch immer

x \in B (x_{i}, \frac{1}{n})

gelten.

hagman aktiv_icon

18:34 Uhr, 26.07.2012

Vorab: Ich verwendete hier die indexlose Vereinigung über eine Menge von Mengen.
Im Sinne von

⋃ A = ⋃_{S \in A} S,

falls diese Schreibweise geläufiger ist.
Und was wir nie thematisiert haben: Wenn die

x_{i}

alle Elemente einer abzählbar dichten Teilmenge durchlaufen und unabhängig davon

n

alle natürlichen Zahlen, dann haben wir immer noch nur abzählbar viele Basismengen:

| ℕ \times ℕ | = | ℕ |

.

1.

⋃ {B (x_{i}, \frac{1}{n}) | B (x_{i}, \frac{1}{n}) \subseteq U} \subseteq U

Dies ist klar, denn jedes Element von

{B (x_{i}, \frac{1}{n}) | B (x_{i}, \frac{1}{n}) \subseteq U}

ist ja Teilmenge von

U,

also gilt dies auch für deren Vereinigung.

2.

U \subseteq ⋃ {B (x_{i}, \frac{1}{n}) | B (x_{i}, \frac{1}{n}) \subseteq U}

Sei

x \in U

beliebig. Weil

U

offen ist, gibt es ein

ε > 0

mit

B (x, ε) \subseteq U

.
Für jedes

n \in ℕ

mit

n > \frac{2}{ε}

gilt

\frac{1}{n} < \frac{ε}{2} < ε,

daher

B (x, \frac{1}{n}) \subseteq U

.
Per Dichtheit der

x_{i}

gibt es ein

x_{i} \in B (x, \frac{1}{n})

.
Umgekehrt ist dann

x \in B (x_{i}, \frac{1}{n}),

denn beides bedeutet ja einfach

d (x, x_{i}) < \frac{1}{n}

.
Für

z \in B (x_{i}, \frac{1}{n})

gilt

d (x, z) \leq d (x, x_{i}) + d (x_{i}, z) < \frac{1}{n} + \frac{1}{n} = \frac{2}{n} < ε,

also folgt

x \in B (x_{i}, \frac{1}{n}) \subseteq B (x_{i}, ε) \subseteq U

.
Mithin ist dieses

B (x_{i}, \frac{1}{n})

eines der Elemente von

{B (x_{i}, \frac{1}{n}) | B (x_{i}, \frac{1}{n}) \subseteq U},

über die die Vereinigung gebildet wird, also ist

x \in ⋃ {B (x_{i}, \frac{1}{n}) | B (x_{i}, \frac{1}{n}) \subseteq U}

.
Da

x \in U

beliebig war, folgt

U \subseteq ⋃ {B (x_{i}, \frac{1}{n}) | B (x_{i}, \frac{1}{n}) \subseteq U}

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1019020

1018902

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?