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adjungierte Abbildung bestimmen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Skalarprodukte

Vektorräume

Tags: adjuniert, Linear Abbildung, Skalarprodukt, Vektorraum

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17:01 Uhr, 15.07.2016

Hallo,

ich sitze hier gerade an einer Übungsaufgabe und finde keinen Ansatz. Hat jemand vielleicht eine Idee, wie man diese Aufgabe löst?
Vielen Dank im Vorraus.

Die Aufage lautet:

Sei V die Menge

{f \in ℝ [X] ∣ g r a d f \leq 2}

. Diese wird durch das Skalarprodukt

〈 f, g 〉 := \sum_{i = - 1}^{1} f (i) g (i)

zu einem euklidischen Vektorraum. Selbiges gilt für

ℝ

mit dem Skalarprodukt

〈 r, s 〉 := r s

.

a) Bestimmen Sie zu der Einbettung

j : ℝ \to V, r \mapsto r X

, die adjungierte Abbildung

j^{*}

.

b) Sei

Φ : V \to ℝ

die lineare Abbildung

\sum_{i = 0}^{2} a_{i} X^{i} \mapsto \sum_{i = 0}^{2} a_{i}

. Berechnen Sie die adjungierte Abbildung

Φ^{*}

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

mihisu aktiv_icon

20:40 Uhr, 15.07.2016

Zur Unterscheidung der beiden Skalarprodukte kennzeichne ich diese als

{〈 f, g 〉}_{V}

bzw.

{〈 r, s 〉}_{ℝ}

.

\\\\\

In der Teilaufgabe

a)

ist die adjungierte Abbildung

j^{*} : V \to ℝ

zur gegebenen Abbildung

j : ℝ \to V

gesucht. Nach Definition von adjungierten Abbildungen, muss

{〈 f, j (s) 〉}_{V} = {〈 j^{*} (f), s 〉}_{ℝ}

für alle

f \in V

und

s \in ℝ

sein. Schreibe nun die Bedingung aus, indem du die Definitionen der Skalarprodukte aus der Aufgabenstellung benutzt. Dann kannst du ablesen, wie

j^{*} (f)

für ein beliebiges

f \in V

aussehen muss.

\\\\\

Zu

b) :

Das geht relativ analog zu

a)

. Man erhält

Φ^{*} (r)

für beliebiges

r \in ℝ

anhand der Bedingung

{〈 r, Φ (g) 〉}_{ℝ} = {〈 Φ^{*} (r), g 〉}_{V}

für alle

r \in ℝ

und

g \in V

.

Tipp: Wenn man sich

Φ

genauer ansieht, kann man feststellen, dass

Φ (f) = f (1)

für alle

f \in V

ist.
Tipp: Betrachte für

g \in V

insbesondere die Polynome

X \cdot (X - 1), (X + 1) \cdot (X - 1)

und

(X + 1) \cdot X

.
Tipp: Für ein

f \in V

mit

f (- 1) = y_{1}, f (0) = y_{2}, f (1) = y_{3}

ist

f = y_{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot X \cdot (X - 1) + y_{2} \cdot (- 1) \cdot (X + 1) \cdot (X - 1) + y_{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot (X + 1) \cdot X

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18:47 Uhr, 17.07.2016

Hallo,

für a) hab ich nun folgendes:

〈 f, j (s) 〉_{V} = 〈 j^{*} (f), s 〉_{ℝ}

\Rightarrow \sum_{i = - 1}^{1} f (i) \cdot (j (s)) (i) = j^{*} (f) \cdot s

\Rightarrow f (- 1) \cdot - s + f (0) \cdot 0 s + f (1) \cdot s = j^{*} (f) \cdot s

\Rightarrow j^{*} (f) = f (1) - f (- 1)

Ist das korrekt so?

mihisu aktiv_icon

00:19 Uhr, 18.07.2016

Ja, bis auf kleine formale Fehler passt das:

Du solltest bei

f (- 1) \cdot - s

den Term

- s

in Klammern setzen, also

f (- 1) \cdot (- s)

schreiben.

Außerdem sollte geklärt werden, was mit dem

f

bzw.

s

los ist. Woher kommen

f

bzw. s? Soll das für alle

s

gelten oder nur für ein bestimmtes?

. .

. Besser wäre es beispielsweise so:

- - - - -

Für alle

f \in V

ist:

\forall s \in ℝ : {〈 f, j (s) 〉}_{V} = {〈 f^{*} (f), s 〉}_{ℝ}

\Rightarrow \forall s \in ℝ : \sum_{i = - 1}^{1} f (i) \cdot (j (s)) (i) = j^{*} (f) \cdot s

\Rightarrow \forall s \in ℝ : f (- 1) \cdot (- s) + f (0) \cdot 0 s + f (1) \cdot s = j^{*} (f) \cdot s

\Rightarrow j^{*} (f) = f (1) - f (- 1)

- - - - -

Aber das sind wirklich nur formale Kleinigkeiten. Im Grunde hast du die Teilaufgabe richtig gelöst.

Funtak aktiv_icon

17:42 Uhr, 21.07.2016

Also mein Tutor hat gemeint das stimmt nicht, da

j (s)

ja ne reelle Zahl ist und das kann man ja nicht abhängig von ner anderen Zahl machen

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