Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » ähnliche Matrizen eindeutig?

ähnliche Matrizen eindeutig?

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Ähnlichkeit, Matrizenrechnung

fragix aktiv_icon

22:45 Uhr, 07.09.2013

Hallo
Ich stolpere über ein ziemlich doofes Problem und stehe an... Wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte:
Ich habe die Matrix

A = (\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 1 & 4 \end{matrix})

und versuche die zu A ähnliche Matrix

B

zu berechnen. Ich habe das charakteristische Polynom berechnet und die Eigenwerte 2 und 3 bekommen. Dann habe ich die Eigenvektoren bekommen

(\begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix})

Das heisst

S

ist

(\begin{matrix} - 2 & - 2 \\ 1 & 1 \end{matrix})

und die zu

S

inverse Matrix

(\begin{matrix} - 1 & - 1 \\ 1 & 2 \end{matrix})

und erhalte damit B=S^-1AS=

(\begin{matrix} 3 & 3 \\ 0 & 2 \end{matrix})

Beim Repetieren der Aufgabe habe ich die Eigenvektoren

(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})

resp.

(\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix})

bekommen. Damit erhalte ich für

S = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 \end{matrix})

resp

S^{- 1} = (\begin{matrix} - 1 & - 2 \\ 1 & 1 \end{matrix})

. Daraus resultiert - nach meiner Rechnung

B = (\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix})

.
Habe ich einen Fehler bei der Ausrechnung gemacht? Oder kann ich zwei verschiedene ähnliche Matrizen bekommen? Wenn ja, warum?
Danke!
fragix

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Strahlensatz und Ähnlichkeit

Apfelkonsument aktiv_icon

23:57 Uhr, 07.09.2013

Wie habt ihr denn ähnliche Matritzden definiert? Mir scheint es, du verwechselst da etwas ziemlich gründlich.

Allerdings ist unabhängig davon dein erstes Ergebnis falsch. Dein S besteht bei dir aber auch aus 2 mal dem gleichen Eigenvektor. Da ist wohl was schief gelaufen.

fragix aktiv_icon

00:17 Uhr, 08.09.2013

Da hast du natürlich völlig recht. Mein

S

ist falsch, da habe ich mich vertippt. Es sollte heissen

S = (\begin{matrix} - 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})

Ähnliche Matrizen waren definiert als Matrizen, die mit B=SAS^-1 umgeformt werden und sind ähnlich zur Diagonalmatrix. Womit meine erste Rechnung also falsch ist...?
Wo ist mir denn der Fehler unterlaufen? (Wahrscheinlich habe ich gefühlte tausendmal den gleichen Fehler gerechnet...)

fragix aktiv_icon

00:28 Uhr, 08.09.2013

Depp ich!

S^{- 1}

und

S

verwechselt. Sorry und herzlichen Dank! (War wohl die Prüfungspanik.) Danke, dass du dich trotzdem meiner Fragestellung angenommen hast... *schäm*

Apfelkonsument aktiv_icon

00:57 Uhr, 08.09.2013

Deine Frage hat sich ja offensichtlich geklärt. Dennoch besteht etwas Auffrischungsbedarf zu den ähnlichen Matritzen:

Hier mal, wie ich ähnliche Matrizen kenne: Matrizen

A, B \in M a t (n, K)

heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix

S \in G l_{n} (K)

gibt mit

A = S^{- 1} B S

.

Es gibt also in den meisten Fällen zu einer festen Matrix

A

sehr viele verschiedene ähnliche Matrizen

B

. Ich kann ja einfach eine beliebige invertierbare Matrix von beiden Seiten ranmultiplizieren und erhalte eine zu

A

ähnliche.

Was du meinst, ist die Diagonalgestalt von diagonalisierbaren Matrizen(welche ebenfalls ähnlich zur ursprünglichen ist). Aber auch diese ist nur in seltenen Fällen eindeutig. Es ist immer möglich, die Diagonalelemente auszutauschen, wenn man eine andere Matrix rechts und links ranmultipliziert.

fragix aktiv_icon

13:46 Uhr, 08.09.2013

Hallo Apfelkonsument
Ich hinke trotzdem, sorry. Wenn ich die Definition B=SAS^-1 (bei uns in der Vorlesung wurde da immer wieder zwischen B=S^-1AS und B=SAS^-1 gewechselt) nehme und die Eigenvektoren "zusammensetze": Erhalte ich dann

S

oder

S^{- 1}

(für B=SAS^-1)?
Weil - und da habe ich Mühe - je nachdem wie ich es verwende erhalte ich zwar die gleichen Diagonaleinträge, aber andere Einträge auf der anderen Diagonalen. Das würde bedeuten (und nach deinem letzten Post könnte es auch so sein), dass die Diagonalmatrix nicht eindeutig ist (abgesehen vom Vertauschen der Eigenwerte in der Diagonalen).
Tut mir leid... Das ärgert mich gewaltig. Kannst du mich erlösen, bitte? Danke!

Apfelkonsument aktiv_icon

13:58 Uhr, 08.09.2013

"Erhalte ich dann S oder S-1"

Wenn du die Eigenvektoren in die Spalten schreibst und die Matrix, in die du sie schreibst, S nennst. Dann musst du sie so ranmultiplizieren:

S^{- 1} A S

, um die Diagonalmatrix zu erhalten.

"aber andere Einträge auf der anderen Diagonalen"

Nun, bei einer diagonalsierbaren Matrix dürfte das nicht passieren, dass du überhaupt von 0 verschiedene Einträge abseits der Hauptdiagonalen hast.

Reden wir jetzt auch von nicht diagonalsierbaren Matrizen und deren Normalformen? Stichwort: Jordansche Normalform?

fragix aktiv_icon

14:11 Uhr, 08.09.2013

"Wenn du die Eigenvektoren in die Spalten schreibst und die Matrix, in die du sie schreibst,

S

nennst. Dann musst du sie so ranmultiplizieren: S−1AS, um die Diagonalmatrix zu erhalten."

\to

Halleluja! Es funktioniert nun alles reibungslos. Mann, hatte ich ein Wirrwarr mit

S

und

S^{- 1}!

Wir sprechen nur über diagonalisierbare Matrizen.
Danke dir ganz herzlich!!!

1111786

1111709

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?