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algebraisch unabhängig und Untergruppe
Universität / Fachhochschule
Ringe
Tags: Ring
 
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HI!
eigentlich ne ja oder nein frage: Ist ist algebraisch unabhängig über dem Unterring Z von R? ICh verstehe zwar den wiki artikel wo man einfach die Polynomgleichung hernimmt und einsetzt. kann man dies auch hier verwenden? dann wäre die Antwort wohl nein auf die Frage...
Eine weitere frage wäre:
Sei (G, ·) eine Gruppe und eine Teilmenge mit der. Eigenschaft "für alle a, b H ist a · b H". Ist H eine Untergruppe von G?
hier würde ich sagen sein. denn H ist nur eine untegruppe genau dann wenn für alle a, b H ist a · b^-1 H gilt. Reicht dies als gegenbeispiel aus?
lg Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, ist eine Nullstlle des Polynoms . Damit ist algebraisch abhängig. Im Allgemeinen sind -te Wurzeln von Elementen aus dem Grundkörper immer algebraisch abhängig, so ist ein Polynom, von dem eine Nullstelle ist. Was ist denn eure Definition für algebraische abhängigkeit? Das sollte doch genau diese sein... Eine algebraisch unabhängige Körpererweiterung wäre z.B. . Gruß Sina |
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Nein, das ist kein Gegenbeispiel, auch wenn du das Problem richtig gesehen hast. Gib eine konkrete Gruppe und eine konkrete Teilmenge an. Als Tipp, versuch es mal mit . Deine Lösung ist kein Gegenbeispiel, da ich z.B. nehmen kann und . Dann gilt (also ), und es ist auch das inverse Element in enthalten. Dann ist eine Untergruppe. Es gibt also Gruppen, wo das obige Kriterium hinhaut (nämlich Untergruppen). Aber du musst eine konkrete Teilmenge angeben, wo es schief geht... |
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ad1) okay is mir jetzt glaub ich klar. ich suche einfach eine polynomgleichung. und versuche den wert einzusätzen schaffe ich, dass 0 rauskommt ist es algebraisch unabhängig. aber was hat es genau mit dem Unterring auf sich. heißt eben der Unterring über z, dass meine polynomgleichung nur elemete aus Z enthalten darf? also z.b keine anderen wurzeln? also z.B nicht x - sqrt(7) = 0?
ad2) da bin ich jetzt a bisserl verwirrt, meinst durch wirklich 0+0=0 oder 0*0=0? wenn das mit dem * der fall wäre würde ich H={2} sagen. denn 2*2=4 != 2 also nich element von H? aber was wäre dann in diesem falls da b^-1?
lg |
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zu 2.) Allgemein werden Gruppen wohl als geschrieben. Dieses ist jedoch nicht die Multiplikation von Zahlen, sondern eine beliebige Gruppenverknüpfung. Und bildet eine Gruppe mit der Addition von Zahlen, nicht jedoch mit der Multiplikation. In dem Fall steht das allgemeine "" also für "". zu 1.) Bei der Ringerweiterung (ich glaube, ich hab eben Körpererweiterung dazu gesagt, das stimmt natürlich nicht), handelt es sich um den kleinsten Ring, der sowohl den Ring , als auch die Zahl enthält. Das sollten dann die Menge sein. Polynomgleichungen benutzt man nur, um diese Ringerweiterungen zu untersuchen. So kann man beispielsweise den "Grad" der Erweiterung am Minimalpolynom ablesen. Z.B. ist das Minimalpolynom für über den Ring (die "Minimalität" müsste man beweisen). Da das Polynom quadratisch ist, ist der Grad der Ringerweiterung 2. |
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Und dein Bsp. mit ist kein Gegebeispiel, da eben nicht gilt, dass für gilt, dass ist. Du musst ja ne Teilmenge finden, die unter der Gruppenoperation abgeschlossen ist. |
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Und ja, bei einer Ringerweiterung darf das Polynom nur Koeffizienten aus dem Ring erhalten, über den erweitert wird. Z.B. ist ein Polynom mit Koeff. aus und einer Nullstelle in . Das Polynom hätte ja schon einen Koeff. . Damit ist (d.i. die Menge der Polynome mit Koeff. in ), aber . |
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ad1) okay danke das ist mir jetzt klar :)
ad2) hmm...
also ich muss ein H finden, dass abgeschlossen ist also die geforderte Operation gilt. aber im allgemeinen keine Gruppe ist? ist dies richtig? naja wäre eine Untegruppe von (Z,+) nicht (N,+) ? |
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Also, jetzt hast du es richtig verstanden und ein richtiges Gegenbeispiel gegeben, nur eins passt noch nicht: ist eben KEINE Untergruppe ;-) Aber ansonsten stimmt es. Man spricht bei eben auch von einer (echten) Halbgruppe... Es kann schon gar keine (Unter-)Gruppe sein, da das neutrale Element nicht enthalten ist. |
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okay, aber wäre jetzt meine antwort bei der Klausur mit der vollen Punktezahl bedacht worden? ;)
denn mein idee war es ja eine teilmenge zu finden die keine untergruppe ist um eben zu zeigen, dass a*b€H nicht aussreicht als Argument für eine Untergruppe. Da müssen ja eben drei sachen erfüllt sein *) H keine leere Menge *) ab€H *) a€H also a^-1€H
letzteres wäre eben nicht der falls also nicht mit Untergruppe ;) würde es noch andere beispiele geben?
lg
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Ähm, ja deine Lösung wäre nun ein korrektes Gegenbeispiel gewesen und daher wohl mit der vollen Punktzahl belegt worden. Beispiele gibt es unendlich viel. Du kannst z.B. auch oder wählen, für , dann ist für und somit hast du unendlich viele Gegenbeispiele. Aber wie ich bereits sagte, du kannst jede beliebige echte Halbgruppe nehmen, da ist das automatisch erfüllt. Aber natürlich sind die "leichtesten" Gegenbeispiele in den Zahlen zu finden... |
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Vielen Dank!
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