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alle Lösungen der Kongruenz

Universität / Fachhochschule

Tags: Kongruenz, modulo

kennedy aktiv_icon

20:55 Uhr, 01.05.2015

Hallo,

1)Man bestimme alle Lösungen der Kongruenz

3 x \equiv 6

mod 18

x \in Z

2)Man bestimme alle Lösungen der Kongruenz

2 x \equiv 7

mod 28

x \in Z

3)Man bestimme alle Lösungen der Kongruenz

11 x \equiv 1

mod 181

x \in Z

bei 1) würde ich erstmal durch 3 teilen, dann hätte ich

x \equiv 2

mod 6

daraus folgt

x = 2

also

2 + 18 k

oder

2 + 6 k

sind all meine Lösungen? weiß nicht falls es richtig ist welches von beiden. oder hab ich irgendwo was falsch gemacht?

bei 2) gibt es keine Lösung aber wieso weshalt warum weiß ich nicht. laut dem online rechner: "no solution exist"

bei 3) soll als Ergebnis

x = 33

sein, aber da weiß ich auch nicht wieso. evtl mit dem eukl algo?

hoffe jemand kann mir helfen
LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Dreiecke und Kongruenz

abakus

21:58 Uhr, 01.05.2015

Hallo,
die Zahlen, die den Rest 6 bei Teilung durch 18 lassen, sind beispielsweise 6, 24, 42, 60, ...
Wenn 3x diese Zahlen ergeben soll, ist x selbst 2 oder 8 oder 14 oder...
Die Lösungen haben also sie Form 2+6k.
Zu 2)
Zahlen, die bei Teilung durch 28 den Rest 7 lassen, sind z.B. 7, 35, 63, ...
all diese Zahlen sind ungerade und können somit nicht die Form 2x haben.
zu 3)
11 x lässt laut Aufgabe den Rest 1 bei Teilung durch 181.
Also ist 11x-1 durch 181 teilbar, und es gilt
11x-1=k*181.
Daraus folgt
11x=1+181k,
und die linke Seite ist durch 11 teilbar.
Also muss auch die rechte Seite durch 11 teilbar sein, und es gilt

181 k + 1 \equiv 0 m o d 11

.
Wegen

176 k \equiv 0 m o d 11

folgt daraus

5 k + 1 \equiv 0 m o d 11

.
Das wird für k=2 erfüllt.
Wegen 11x-1=k*181 liefert also 11x-1=362 bzw. 11x=363 die Lösung x=33. Das ist ein Repräsentant der Restklasse, die alle Lösungen enthält.

kennedy aktiv_icon

22:05 Uhr, 01.05.2015

danke! :-)

ledum aktiv_icon

22:06 Uhr, 01.05.2015

Hallo
hast du bei deiner Lösung von 1 mal

k

eingesetzt also

k = \pm 1, \pm 2

und überprüft- wieso darfst du beim Teilen den

mod

auch teilen?
einfacher

3 x = 6 + k \cdot 18

folgt ?
bei 2.

2 x = 7 + k \cdot 28

warum gibt es dann kein x?

3.

11 x = 1 + k \cdot 181 \frac{181}{11} = 16

Rest 5 du hast also

k \cdot 5 + 1

muss durch

11

teilbar sein folgt

k = 2

11 x = 1 + 2 \cdot 181,

daraus

x

was ist das nächst mögliche k? und damit x? usw
Gruss ledum

kennedy aktiv_icon

22:10 Uhr, 01.05.2015

Hallo ledum,

um ehrlich zu sein, ich weiß nicht wieso ich es teilen darf. Ich habe es jetzt einfach gemacht, weil alle durch 3 Teilbar waren. Was sind denn die Voraussetzungen dafür?

LG

ledum aktiv_icon

22:35 Uhr, 01.05.2015

Du darfst es nicht und hattest hier Glück mach dasselbe mit

3 x = 6 mod 21

und du scheiterst.
Gruß ledum

kennedy aktiv_icon

22:43 Uhr, 01.05.2015

hmm ok,

3 x \equiv 6 + k \cdot 18

folgt? also bei deinem Ansatz hab ich nicht verstanden, was daraus folgen soll?

LG

ledum aktiv_icon

23:22 Uhr, 01.05.2015

Hallo
daraus folgt was du hattest

x = 2 + 6 k

denn jetzt rechnest du ja einfach mit ganzen Zahllen. also begründet.
Gruss ledum

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