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alle Lösungen der komplexen Gleichung bestimmen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

mate5 aktiv_icon

15:13 Uhr, 21.06.2018

Hallo zusammen.
Ich soll in folgender Aufgabe alle Lösungen der Komplexen Gleichung angeben:

(4 \cdot z^{6} - 2 \cdot z^{3} + 5) \cdot (z^{3} + 27 \cdot i) = 4 - 4 e^{i \cdot 4 \cdot π}

- im ersten Schritt habe ich

z^{6}

substituiert und durch

u

ersetzt: also

u = z^{6}

- daraufhin habe ich durch MNF die beiden Lösungen von

u

ausgerechnet:

u 1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \sqrt[2]{19} \cdot i

u 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \sqrt[2]{19} \cdot i

in der 2. klammer habe ich als nullsteile:

u 3 = - 27 i

errechnet.

dann

u \frac{1}{2} / 3

aufgestellt in exponentieller form und

z^{3}

rebsubstituiert:

z 1 = \sqrt[6]{20} \cdot

e^(i*(arctan(\root(2)(19)+2pi*k)/3)

= 4 - 4 \cdot e^{i \cdot 4 \cdot π}

gleiches spiel bei z2.(nur mit anderem arctan.
und bei

z 3 :

z 3 = 3 \cdot e^{i \cdot (\frac{2 \cdot π \cdot k}{3})} = 4 - 4 e^{i} \cdot 4 \cdot π

muss ich im anschließendem schritt,

4 - 4 \cdot e^{i} \cdot 4 \cdot π

auf die andere Seite bringen, wodurch bei

z 3

folgendes rauskommt:

z 3 = - 4 + (4 + 3) \cdot e^{i (2 \cdot π \cdot \frac{k}{3} + 4 \cdot π)}

ist die Vorgehensweise so richtig ?

Vielen dank für eine Rückmeldung!

Ps: tut mir leid dass der Formeleditor bei dem arctan nicht funktioniert, ich weiß nicht warum.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

16:07 Uhr, 21.06.2018

.
(

4 \cdot z^{6} - 2 \cdot z^{3} + 5) \cdot (z^{3} + 27 \cdot i) = 4 - 4 \cdot e^{i \cdot 4 π}

" ist die Vorgehensweise so richtig ?"

\to

das wirst du hoffentlich nicht im Ernst meinen ..

Vorschläge, wie du vielleicht selbst doch noch auf einen sinnvollen Weg kommst :

1) \to

finde zuerst mal heraus, was da rechts steht

\to 4 - 4 \cdot e^{i \cdot 4 π} =

???

2) \to

substituiere im ersten Faktor links mit

\to w = z^{3}

. .

. und löse dann zuerst mal die quadratische Gleichung

4 w^{2} - 2 w + 5 = 0

. .

. aber ACHTUNG

\to

schaue zuerst, ob du alle drei Vorzahlen in der ersten Klammer

. .

. überhaupt richtig aufgeschrieben hast ?!

. .

. nach Rücksubstitution wirst du die ersten 6 Lösungen für

z

erhalten ..

3) \to

die restlichen drei der insgesamt ja 9 Lösungen für

z

. .

. bekommst du mit der zweiten Klammer

\to

diese drei Lösungen sind:

\to z_{7} = 3 \cdot i

\to z_{8} = \frac{3}{2} \cdot (- \sqrt{3} - i)

\to z_{9} = \frac{3}{2} \cdot (+ \sqrt{3} - i)

. .

. überlege,

\to

ob? / warum? das stimmt ..

.

mate5 aktiv_icon

16:50 Uhr, 21.06.2018

ich hatte alle Lösungen in der exponential form für

k = 0,1,2

darstellen wollen, aber anscheinend falsch.

1)

meinst du ich soll den rechten teil aus der exponentiell form umwandeln ?

2)

ich habe mich verschrieben, ich hab mit

u^{3}

substituiert.

heißt

u 1 = \frac{+ 2 + \sqrt[2]{4 - 76}}{8}

und entsprechend für

u 2

nur mit

' -'

.

und für die ersten 6 Lösungen dann

z = \sqrt[3]{u}

und ich hab alles richtig abgeschrieben von der Aufgabe

ledum aktiv_icon

20:02 Uhr, 21.06.2018

Hallo
da du ja die beiden Klammern

= 0

ausgerechnet hast, wieso setzest du dann am ende

4 - 4 \cdot e^{i \cdot π \cdot 4}

nicht weiter 0?
Wenn die rechte Seite nicht 0 wäre, kannst du doch nicht die Klammern 0 setzen?
Gruß ledum

mate5 aktiv_icon

20:09 Uhr, 21.06.2018

Ja, den Fehler hab ich bei mir jetzt auch behoben, dass der rechte Term

= 0

ist.

aber dann müsste doch die vorletzte Zeile stimmen mit:

z 3 = 3 \cdot e^{i \cdot \frac{π + 2 \cdot π \cdot k}{3}}

und

k = 0,1,2

ich komme immer noch auf andere werte,

x 7 = \frac{3}{2} \cdot (1 + \sqrt{3} i)

x 8 = - 3 i

x 9 = \frac{3}{2} \cdot (- \sqrt{3} + i)

wo ist mein Fehler ? bei den letzten beiden fehlt nur noch ein "-" oder täusche ich mich ?

rundblick aktiv_icon

23:05 Uhr, 21.06.2018

.
"Ja, den Fehler hab ich bei mir jetzt auch behoben, dass der rechte Term

= 0

ist."

\to

und warum ist die rechte Seite

= 0

. .

. also: wie hast du das herausgefunden ?

\to ...

.

und dazu: "wo ist mein Fehler ?"

\to

aus

\to z^{3} + 27 \cdot i = 0 .

. folgt NICHT

\to z^{3} = 27 \cdot i .

. SONDERN

\to z^{3} = - 27 \cdot i .

. (wetten?)

. .

. also: welchen Betrag .. und WELCHES ARGUMENT hat

\to - 27 \cdot i

. .

. ( erste Hilfe : sicher nicht

\to π + 2 k π)

hm? ach ja - und siehst du auch noch das

\to

" Minus " ?

" oder täusche ich mich ?"

. .

. ja, genau das machst du mit dir ..

und nebenbei:
wenn angenommen wird, dass du lesen kannst, dann stelle ich fest:
du hast meine Frage bei

2)

(Tipp siehe oben)

\to

nicht beantwortet !?!
und
du warst auch nicht in der Lage,
auch nur eine der 6 Lösungen in der Form

z = a + b \cdot i .

. mit

a, b \in ℝ

anzugeben ?

.

mate5 aktiv_icon

23:18 Uhr, 21.06.2018

4 - 4 \cdot cos (4 \cdot π) + 4 \cdot i \cdot sin (4 \cdot π)

4 - 4 - 0 = 0

da Im

= + 27 i

α = \frac{π}{2}

und da

z^{3} = - 27 i \to

IzI

= - 3

dann:

1, - \frac{3}{2} \cdot \sqrt[2]{3} - \frac{1}{2} i

2, + 3 \cdot \frac{\sqrt[2]{3}}{2} - \frac{1}{2} i

3, + 3 i

rundblick aktiv_icon

23:23 Uhr, 21.06.2018

.
" .. und da

z^{3}

=-27i→ IzI

= - 3

- -

MANN

!! \to

BETRÄGE SIND NIE NEGATIV

!!!

und:

" da Im

= + 27 i

\to

NEIN

! \to

der Imaginärteil von

- 27 \cdot i

ist

\to - 27

!
.

mate5 aktiv_icon

23:40 Uhr, 21.06.2018

also:

z = 3

und der Winkel

\frac{3}{2} π

rundblick aktiv_icon

00:17 Uhr, 22.06.2018

.
hm..
bei

- 27 i

ist der Betrag gleich

+ 27

und für

z^{3} = - 27 i

kannst du dann schreiben

\to z^{3} = 27 \cdot e^{(\frac{3}{2} π + 2 k π) \cdot i}

...mit

k \in ℤ

und dann bekommst du für

z

die drei möglichen Werte, die schon seit

\to 16 : 07

Uhr,

21.06.2018

oben herumstehen ..

und: die Frage nach den richtigen Vorzahlen in der ersten Klammer
ist immer noch nicht geklärt.. !

.

mate5 aktiv_icon

00:30 Uhr, 22.06.2018

ja bringt mir ja nur wenig wenn sie oben herumstehen, ich aber einen falschen Winkel angenommen hatte und nicht weiß wie ich auf den richtigen komme, hilft mir auch nicht sonderlich viel.

man kann durch 4 teilen, und auf

z^{6} .

. bringen, wenn du das meinst

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